Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bivalve

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Anneau

Bonjour,
Je viens d'apercevoir dans une correction d'exercice la phrase suivante : " Les idéaux de A/I sont en bijections avec les idéaux de A contenant I" .

Je ne connais pas cette propriété mais elle  ressemble énormément au théorème de correspondance pour les groupes.
Est-ce qu'il y a un lien, ou pas du tout ? Est-ce que quelqu'un a le nom de cette propriété ?

Je vous remercie d'avance de vos retours.

Fred

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Re : Anneau

Bonjour,

  Oui, cela a un lien. C'est ce qu'on appelle (comme pour les groupes) le 3è théorème d'isomorphisme. On peut le formuler ainsi :

Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal bilatère de $A$ et $J$ un idéal bilatère de $A$ contenant $I.$ Alors $J / I$ est un idéal bilatère de $A / I,$ et il y a un isomorphisme : $( A / I ) / ( J / I ) \simeq A/J.$

F.

Michel Coste

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Re : Anneau

Bonjour,
Autre formulation : soit [tex]\pi : A\to A/I[/tex] le morphisme de passage au quotient par l'idéal [tex]I[/tex]. L'application [tex]J\mapsto \pi^{-1}(J)[/tex] est une bijection de l'ensemble des idéaux de [tex]A/I[/tex] sur l'ensemble des idéaux de [tex]A[/tex] contenant [tex]I[/tex].

Bivalve

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Re : Anneau

Merci pour vos réponses !