Forum de mathématiques - Bibm@th.net

eva63

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nombres complexes [Résolu]

J'ai un DM a rendre pour lundi et je lutte sur un exercice:

On considère les points Mn d'affixe Zn = (1/2i)^n * (1+i√3) ,  n est un entier naturel

1° Exprimez Zn+1 en fonction de Zn, puis Zn en fonction de Z0 et n. Donnez Z1, Z2, Z3 et Z4 sous forme algébrique et trigonométrique.

---> Zn+1 = Zn * 1/2i 
---> Zn= (1/2i)^n * Z0
---> Z1= -1/2√3 + 1/2i = cos 7pi/6 + i sin 7pi/6
       Z2= -1/4√3 + 1/4i = 1/2 (cos 7pi/6 + i sin 7pi/6)
       Z3= -1/8√3 + 1/8i = 1/12 (cos 7pi/6 + i sin 7pi/6)
       Z4= -1/16√3 + 1/16i = 1/64 (cos 7pi/6 + i sin 7pi/6)

2° Déterminez la distance OMn en fonction de n.

---> OMn = |Z|n =  ?    Je ne vois pas la relation avc n     ?????????

3° Démontrer que MnMn+1 = √5 / 2^n

---> Faut-il faire ZnZn+1 ??  Je n'y arrive pas                  ??????????

4° On pose Ln = Σ Mk Mk+1    ( de k=0 à n )
    Déterminez Ln en fonction de n, puis la limite de Ln.

---> Je vois la différence avec MnMn+1, mais je ne vois pas ce qu'il faut faire

Je sais je n'ai pas fait grand chose, mais un peu d'éclairci dans tout cela me ferait du bien!

eva63

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Re : nombres complexes [Résolu]

je me suis trompée pour le début c'est 5pi/6 plutot non ??

Et pour la suite je cherche encore... 
Rapport entre 3 et 12  ou  4 et 64 ??   4 puissance n-2  ??  bizarre un peu...

eva63

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Re : nombres complexes [Résolu]

???

yoshi

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Re : nombres complexes [Résolu]

Bonsoir,

Est-ce que tu peux comprendre qu'on ait besoin de souffler ? Aujourd'hui, ce soir je suis très fatigué...
Ici, il n'ya que des bénévoles ! Béné-voles --> qui le veulent bien !
Nous ne sommes pas à tes pieds, espérant qu'on nous fasse l'aumône d'un exercice, alors tes manifestations d'impatience, tu te les gardes, ok ? Sinon ta discussion subira 3 jours de quarantaine et qui sera mal ?

Je ne peux pas répondre parce que ta notation n'est pas claire.
1/2i c'est quoi ? c'est (1/2)i autrement dit i/2 ou bien 1/(2i) ? Dans ce dernier cas, je ne suis pas d'accord avec tes calculs.
Je ne les ai pas fait dans le 1er cas.
Pas sûr que je trouve la force de te répondre un peu plus tard...

A bon entendeur....

eva63

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Re : nombres complexes [Résolu]

oups je suis désolé je ne pensais pas que mon message allait être perçu de la sorte...  Ce n'était pas ce que je voulais, et je comprends que vous n'avez pas que ça a faire...

J'ai d'autant plus honte qu'en effet je me suis trompé, il s'agit de (1/2)i

Toutes mes excuses. Pour tout.
bonsoir

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombres complexes [Résolu]

Bonjour,

Ok ! Hier soir, malade et fatigué, j'ai aussi bouilli un peu vite...
Donc ton problème:
[tex]Z_0=\left({i\over 2}\right)^0(1+i\sqrt 3)=1+i\sqrt 3=2(\cos\left(\frac{2\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right))[/tex]
[tex]Z_1=\left({i\over 2}\right)^1(1+i\sqrt 3)={-\sqrt 3 \over 2}+i.{1 \over 2}=\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)[/tex]
[tex]Z_2=\left({i\over 2}\right)^2(1+i\sqrt 3)={-}\frac{1}{4}(1+i\sqrt 3)=\frac{1}{2}\left({-}\frac{1}{2}+i\frac{-\sqrt 3}{2}\right)={1 \over 2}\left(\cos\left(\frac{8\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{8\pi}{6}\right)\right)[/tex]
etc.... etc...
Que constate-t-on  déjà en passant de l'indice 0 à l'indice 2 ? Que l'angle augmente de 3pi/6 autrement dit de pi/2 à chaque fois...
Si tu as compris les notions de module et d'argument, tu ne seras pas surprise si je te fis que le module donc les longueurs OM0, OM1, OM2 passent de 2 à 1 puis à 1/2 et sont donc divisées par 2 à chaque fois...
ESt-ce donc si étrange ?
Non, bien sûr ! Que fait-on à chaque augmentation de 1 de l'indice ? ON prend la longueur OMn, on la divise par 2 (puisque tu multiplies par 1/2), puis on fait tourner OMn de pi/2, parce que multiplier par i c'est effectuer une rotation de pi/2...
n = 0   module 2       argument 2pi/6  (ou pi/3)   M0  coordonnées cartésiennes [tex]M_0(1\,;\,\sqrt 3)[/tex]
n = 1   module 1       argument 5pi/6
n = 3   module 1/2    argument 8pi/6
n = 4   module 1/4    argument 11pi/6
n = 5   module 1/8    argument 14pi/6 soit 2pi/6 [2pi]  et la boucle est bouclée : le point M5 se trouve sur [OM0]
n = 6  module 1/16   argument 17pi/6  soit 5pi/6 [2pi] le point M6 se trouve sur [OM1]
......

Voilà, tu devrais avoir de quoi alimenter ta réflexion...

@+

eva63

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Re : nombres complexes [Résolu]

Merci. J'avais refais mes calculs, je trouve comme toi.

Pour la question 3) on aurait donc OMn= 1 / 2^(n-1)

Pour la question 4) Mn il s'agit de la longueur Mn cad OMn ?  Parce que je n'y arrive pas en faisant  1/2^(n-1) * 1/2^n

Pour la question 5) la somme des MkMk+1, est ce que c'est MnMn+1 * n  ? Ou c'est plutot une suite géométrique dont on fait la somme ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombres complexes [Résolu]

Salut,

question 2 (et pas 3) : ta réponse est bonne. Vérification avec [tex]OM_0 =\left({1 \over 2}\right)^{0-1}=2[/tex]... ça colle aussi.

question 3 (et pas 4 : La solution est... théorème de Pythagore !
Je t'ai écrit que pour passer de M_n à M_{n+1} on divise la longueur par 2 et on tourne de....pi/2 ! Ca veut dire que ton triangle OM_nM_{n+1} est rectangle en O... D'où le théorème de Pythagore !

question 4
[tex]M_0M_1=\frac{\sqrt 5}{2^0}=\sqrt 5\\M_1M_2=\frac{\sqrt 5}{2^1}=\frac{\sqrt 5}{2}\\M_2M_3=\frac{\sqrt 5}{2^2}=\frac{\sqrt 5}{4}\\M_3M_4=\frac{\sqrt 5}{2^3}=\frac{\sqrt 5}{8}\\...[/tex]
D'où
[tex]L_3=\sqrt 5+\frac{\sqrt 5}{2}+\frac{\sqrt 5}{4}+\frac{\sqrt 5}{8}[/tex]
ET donc
[tex]L_n=\sqrt 5+\frac{\sqrt 5}{2}+\frac{\sqrt 5}{4}+\frac{\sqrt 5}{8}+\cdots+\frac{\sqrt 5}{2^n}[/tex]
Tu commences à y voir plus clair, je pense...

@+

eva63

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Re : nombres complexes [Résolu]

Merci beaucoup.