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Beubeunoit

Invité

Questions notations fonction composée

Bonjour,

Dans un livre de MP, sur un passage discutant des polynômes d'un endomorphisme, il est écrit :
$(PQ)(u)=P(u) \circ Q(u)$

Mais je n'ai pas compris ce que signifié $P(u) \circ Q(u)$. Avec P et Q deux polynomes, définis par $\sum_{k=0}^{p}a_kX^k$
Je sais juste que $P\circ Q(u)$ correspond à la composition de P  et Q. Mais ici l'écriture est différente.

Merci d'avance de votre réponse.

Glozi

Invité

Re : Questions notations fonction composée

Bonsoir,
Pour le contexte, soit $K$ un corps, et $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie ou infinie. On considère également $u\in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$ (c'est une application $K$-linéaire de $E$ dans $E$).

Si $P\in K[X]$ est un polynôme à coefficient dans $K$, alors $P(u)$ est par définition un endomorphisme de $E$ (c'est à dire : $P(u)\in \mathcal{L}(E)$) définit par :
si $P=\sum_{k=0}^n a_kX^k$ alors $P(u) := \sum_{k=0}^na_ku^k$ (où $u^k$ désigne $u\circ u\circ \dots \circ u$, $k$ fois la composée de $u$, et $u^0 = id_E$).

Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $K[X]$ on peut donc définir deux endomorphismes $P(u)$ et $Q(u)$. Par ailleurs $PQ$ est encore un polynôme (ici $PQ$ désigne le produit de $P$ et de $Q$ dans $K[X]$). On peut donc également considérer l'endomorphisme suivant $(PQ)(u)$.

Ta propriété dit que dans $\mathcal{L}(E)$ on a l'égalité $(PQ)(u) = P(u)\circ Q(u)$ (l'endomorphisme $P(u)$ composé avec l'endomorphisme $Q(u)$).

En revanche $P\circ Q(u)$ ne fait pas de sens car $Q(u)$ est un endomorphisme et $P$ un polynôme. À la limite ce qui ferait sens c'est $P(Q(u)))$ (c'est un endomorphisme). (attention $(PQ)(u)$ n'est en général pas égal à $P(Q(u))$ ! vois tu pourquoi ?).

De manière plus formelle, ce que dit essentiellement ta propriété c'est qu'on a un morphisme surjectif d'algèbre
$(K[X],+,.,\times) \to (K[ u ],+,.,\circ), P\mapsto P(u)$.
Le produit sur les polynômes devient la composition des endomorphismes.

Bonne soirée

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Questions notations fonction composée

Bonjour,
Pour compléter, si [tex]P\circ Q[/tex] désigne bien la composition des polynômes (c-à-d. le résultat de la substitution du polynôme [tex]Q[/tex] à la variable [tex]X[/tex] dans le polynôme [tex]P[/tex]), alors on a bien [tex](P\circ Q)(u)=P(Q(u))[/tex].
Il faut donc bien distinguer [tex](P\circ Q)(u)=P(Q(u))[/tex] de [tex](PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)[/tex]

Beubeunoit

Invité

Re : Questions notations fonction composée

Bonjour,

Merci de vos deux réponses

(et oui je vois pourquoi (PQ)(u) est différent de P(Q(u))  )