Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

Bernard-maths · 20-03-2023 20:02:31

Bonsoir Yoshi,

Dans ta rectification sur les rectangles :

Il me semblait portant avoir prouvé à partir des rectangles emboîtés dont le rapport Longueur/largeur restait constant ... tels que la partie retirée soit un carré !!!

A part ça, no problem ...

yoshi · 20-03-2023 20:26:53

RE,

ok, merci.

T'as vu une insulte, toi ?

@+

Bernard-maths · 21-03-2023 11:17:58

Bonjour !

@ Yoshi et cie : personnellement je ne vois pas d'insulte ... juste quelques onomatopées stimulantes ...

Il faut bien reconnaître que A. R. a une façon assez particulière de justifier ses calculs, et qu'il est un peu dur d'oreille pour écouter les conseils ...

A part ça, tout va bien, on continue les échanges !

Bonne journée, or d'ennuis ... ne nuit pas !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-03-2023 11:20:17)

A Ratomahenina · 22-03-2023 16:47:21

Bonjour

Qui dit exponentielle dit logarithme et voici ce que j'ai découverts :

( 5 / Phi' ) - ( 5 / Phi^2 ) - ( 5 / Phi^3 ) = 0

Ou

( 8 / Phi^3 ) - ( 8 / Phi^4 ) - ( 8 / Phi^5 ) = 0

Wiwaxia · 22-03-2023 17:27:25

Bonjour à tous,

yoshi a écrit :

... J'insiste quand même, parce que quelqu'un a écrit (j'ai la flemme de chercher son nom) : les chants désespérés sont les chants les plus beaux !...

Cela vient d'un poème d'Alfred de Musset:

Les plus désespérés sont les chants les plus beaux,
Et j'en sais d'immortels qui sont de purs sanglots.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Le_P%C3%A … o%C3%A8me)

yoshi a écrit :

... Le monde entier a accepté de donner au nombre réel $\frac{1+\sqrt 5}{2}$ Le nom de "Nombre d'or"...
La discussion à ce sujet est close, un seul nombre a été baptisé nombre d'or : $\frac{1+\sqrt 5}{2}$...
Cela a commencé avec Euclide, ça ne date pas d'aujourd'hui...
Les peintres, sculpteurs, architectes (je n'ai connaissance que d'un seul : Le Corbusier) l'ont utilisé et son surnom est "divine proportion"...

Le choix de l'appellation n'a pas fait l'unanimité, et a donné a des contestations assez vives en raison de la personnalité de son promoteur ... Ceci dit, yoshi a entièrement raison sur le fond.

Maintenant, l'association d'un métal précieux ou semi-précieux à un nombre réel, bien qu'elle conduise à des expressions séduisantes et non dénuées de poésie, apparaît d'un usage nécessairement limité, et qui accorde une part trop grande à la subjectivité de son (ou de ses) découvreur(s).
C'est ainsi qu'on a défini les nombres métalliques, correspondants à la limite du rapport de deux termes consécutifs de la suite définie par la relation de récurrence:

u_n+2 = p*u_n+1 + u_n ,

où intervient un entier (p).
MCwoM3r0SGb_N-M%C3%A9tallique-1.png
On a de même envisagé, sous une appellation semblable, une suite de rapports limites découlant d'un nombre croissant de termes dans les relations de récurrences:
# la suite de Tribonacci: u_n+3 = u_n+2 + u_n+1 + u_n ,
dont le nombre caractéristique est racine du polynôme x³ = x² + x + 1 ;
# la suite de Tétranacci: u_n+4 = u_n+3 + u_n+2 + u_n+1 + u_n ,
dont le nombre caractéristique est racine du polynôme x⁴ = x³ + x² + x + 1 ... etc:
MCwoO57Zcub_N-M%C3%A9tallique-2.png
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_m%C3%A9tallique

D'autres variantes sont bien sûr envisageables, parmi lesquelles la plus simple est la suite de Padovan définie par la relation:

U_n+3 = U_n+1 + U_n .

Elle peut être associée, comme celle de Fibonacci, à une construction géométrique simple mais résultant cette fois de la juxtaposition de triangles équilatéraux:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Padovan
Un auteur, fasciné par la courbe obtenue, n'a pas hésité à parler de spirale de platine .
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/P1-11.pdf

https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9n% … _Fibonacci

https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Tribonacci

https://mathworld.wolfram.com/topics/Fi … mbers.html

Dernière modification par Wiwaxia (24-03-2023 11:10:46)

Wiwaxia · 24-03-2023 11:30:07

Bonjour,

A Ratomahenina a écrit :

... Qui dit exponentielle dit logarithme et voici ce que j'ai découverts :
( 5 / Phi' ) - ( 5 / Phi^2 ) - ( 5 / Phi^3 ) = 0
Ou
( 8 / Phi^3 ) - ( 8 / Phi^4 ) - ( 8 / Phi^5 ) = 0

Il n'est pas interdit de simplifier par suppression du facteur commun, puis ...
a) en multipliant la première expression par (φ³):

φ² - φ - 1 = 0 ;

on retrouve alors l'équation caractéristique du nombre d'or;

b) en multipliant la seconde par (φ⁵):

φ² - φ - 1 = 0 ...

il est à craindre que cela ne constitue pas un scoop ...

Dernière modification par Wiwaxia (24-03-2023 11:39:42)

yoshi · 24-03-2023 13:35:33

Bonjour,

Wiwaxia a écrit :

Il n'est pas interdit de simplifier par suppression du facteur commun, puis

Je crains que tu ne sois allé un peu vite ; ça avait d'ailleurs été ma première réaction :
Alain R a écrit $5/\varphi'$ et non $5/\varphi$...
Peut-être d'ailleurs voulait-il écrire $5/\varphi$ ?
En tout état de cause, il a bien "trouvé" un $\varphi'$ p1 post #3...
Mais je n'ai pas été en mesure de retrouver ce nombre, et donc de pousser plus loin dans les décimales...

Dans son post #3, s'il donne n, il ne donne pas son x1 de départ...
J'ai pris x1=1
Et je suis tombé rapidement sur 1.8228756105453577528112443845163732553658894273841
Et les chiffres en gras ne changent plus en poussant les itérations...

@+

Dernière modification par yoshi (24-03-2023 13:53:08)

A Ratomahenina · 25-03-2023 13:46:24

Bonjour

Il existe une démonstration pour chaqunes de mes découvertes mais je ne peux vous les livrer dans la crainte de me les faire voler . Google va faire sombrer cette discussion dans l'oubli et on les retrouvera Wikipédia comme cas d'école.
Internet n'est qu'un support publicitaire et le reste n'a aucune importance.

A Ratomahenina · 22-05-2023 11:27:33

Bonjour

Pardonnez moi mon absence mais j'étais sur autre chose : rendre rationnel√2 ce que j'ai réussi à faire .
Pour le nombre d'or j'ai découverts ceci :

Soit log(n) le logarithme d'or de n . On veut connaître n : il suffit d'appliquer la formule suivante :

Phi^( log(n) -1 ) + Phi^( log(n) - 2 ) = n

Ceci ne fonctionne qu'avec le nombre d'or

yoshi · 22-05-2023 11:57:50

Re,

rendre rationnel √2 ce que j'ai réussi à faire

Connais-tu seulement la démonstration que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel, i.e c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme du quotient de 2 entiers naturels... Si non, alors à ta disposition !

Si c'est pour écrire une sottise de plus, tu pouvais rester en dehors de BibMath...
Non ,tu ne nous a pas manqué !

Moi aussi, je suis capable de le jouer dans ton style...
J'ai fait une grande découverte : je suis capable de produire une énergie propre qui a un rendement supérieur à 1...
Mais je ne peux pas la publier, parce que Google s'empresserait de me ve la voler et de la revendre à prix d'or...

Tu vois ? C'est facile !

È finita la commedia !
Discussion fermée...

Yoshi
- Modérateur -

@+

yoshi · 23-05-2023 15:58:39

Bonjour,

Après tout, pourquoi serais-je le seul à enfoncer le clou ?
Je rouvre - provisoirement - la discussion....

$\sqrt 2$ est rationnel dixit Alain R
Alain, es-tu d'accord pour dire que
Tout nombre pair s'écrit $2n$ avec $n \in \mathbb N$ ?
Par conséquent $(2n)^2 = 4n^2$... le carré d'un nombre pair est un multiple de 2, mais aussi de 4

Tout nombre impair s'écrit $2n+1$ avec $n \in \mathbb N$ ?
D'où $(2n+1)^2 = 4n^2+4n+1 = 2(2n^2+2n)+1$
Le carré d'un nombre impair est un nombre impair

Maintenant raisonnons par l'absurde.
Supposons que tu aies raison.
Alors, il existe $p$ et $q$ de $\mathbb N^*$ tels que $\frac p q=\sqrt 2$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux (*).
Donc la fraction $\frac p q$ est irréductible

Élevons les 2 membres au carré :
$\left(\frac p q\right)^2=(\sqrt 2)^2$
soit :
$\frac {p^2}{q^2}=2$
En multipliant les 2 membres par $q^2$, on obtient :
$p^2=2q^2$

On constate que $p^2$ est un nombre pair...
Mais qu'en est-il de p ?
Si p était impair, alors $p^2$ devrait être impair.
Or, $p^2$ est pair, c'est donc que $p$ n'est pas impair...
S'il n'est pas impair, c'est qu'il est... pair.
Mais s'il est pair, alors $p^2$ est multiple de 4.

Dans ce cas, puisque $p^2=2q^2$, alors c'est que $q^2$ est aussi un nombre pair...
(Si $q^2$ était un nombre impair, il ne comprendrait aucune fois le facteur 2 dans sa décomposition)

Donc p et q sont des nombres pair$, et p et q ne sont pas premiers entre eux.
Il y a contradiction avec (*).
La supposition "$\sqrt 2\text{ est un nombre rationnel}$" est donc fausse...

$\sqrt 2$ n'est donc pas, ne t'en déplaise Alain, un nombre rationnel !

---------------------------------------------------------------------------------------------

Alain R a écrit :

Soit log(n) le logarithme d'or de n . On veut connaître n : il suffit d'appliquer la formule suivante :
Phi^( log(n) -1 ) + Phi^( log(n) - 2 ) = n

Quand j'ai lu ceci, je me suis dit : il y a vraiment très peu de chances que ce soit vrai ! Pourquoi le serait-ce ?
Je viens de me lancer dans les calculs.

Donc, j'ai lancé mon Python standard et j'ai écrit :
from math import log, sqrt

>>> phi=(1+\sqrt 5)/2

>>> print(phi)

1.618033988749895

>>> n=7

>>> l1=phi**(log(n)-1)

>>> l2=phi**(log(n)-2)

>>> print(l1+l2)

2.5507692343998807

Tiens !
phi^(log(n)-1)+phi^(log(n)-2) $\neq$ n
Et pas de peu, s'pas, pas de 1 pou_ième dans une décimale ; non, mais dans les grandes largeurs !!!

Autre essai, avec le module decimal de Python (40 decimales demandées) et n =23

phi = 1.618033988749894848204586834365638117720

n = 23

Somme des puissances de phi de Alain R :

12.72704739786724018639583046228220859818

Pas assez de décimales ? Ok, va pour 100 et un autre n !

phi = 1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391138

n = 71

Somme des puissances de phi de Alain R :

13.97079119558286958070164791808715700075459448233709448820098721882803032669435871588043061067891080

Précision, j'ai pas utilisé le log népérien qui s'écrit log tout court en Python et $\ln$ en Maths.

@+

Glozi · 23-05-2023 17:27:56

Bonjour,
Je rejoins totalement Yoshi pour l'irrationalité de $\sqrt{2}$. La preuve, aujourd'hui très connue, a selon la légende valu à un Pythagoricien un peu trop bavard d'être assassiné par ses confrères (https://fr.wikipedia.org/wiki/Hippase_de_M%C3%A9taponte).
Pour la remarque sur le log, il parle vraisemblablement du log en base $\varphi$, c'est à dire $\log_\varphi(x)=\ln(x)/\ln(\varphi)$ où $\ln$ est le logarithme népérien. La propriété $\varphi^{\log_\varphi(x)-1}+\varphi^{\log_\varphi(x)-2}=x$ provient juste d'un calcul sur les puissances ($\varphi^{\log_\varphi(x)}=x$) et du fait que $\varphi^{-1}+\varphi^{-2}=1$ (identité qu'on peut voir en divisant par $\varphi^2$ l'équation $\varphi^2=\varphi+1$).
Cela dit, si on voulait connaître $x$ en connaissant le logarithme en base $\varphi$ de $x$ je passerais plutôt par la formule moins compliquée $x=\varphi^{\log_\varphi(x)}$...
Bonne journée

yoshi · 24-05-2023 10:52:00

Re,

@Glozi
clao ! clap ! clap !
Ça ne m'a pas effleuré une seconde, le coup du $log_{\varphi}(\varphi)$
C'est très fort !
Par contre, là tu lui souffles la réponse, j'aurais aimé qu'il réponde lui-même, pour voir...

Glozi a écrit :

Pour la remarque sur le log, il parle vraisemblablement du log en base $\varphi$...

Tu commences par t'adresser à lui, puis sans transition, à moi : j'ai mis un certain temps pour le comprendre...
Il est vrai, qu'ayant affirmé un jour que Google parlait de lui commeil le plus grand mathématicien du monde, cela devait être évident pour lui, qu'il s'agissait du $log_{\varphi}(\varphi)$.

Et donc, il a dû penser que le respect des notations, c'était inutile ; ce faisant, il m'a fait perdre mon temps avec des calculs inutiles, le calcul de base avec une calculatrice scientifique de Collège (si elle permet le choix de base du log) donnerait la bonne réponse.
La démonstration théorique de Glozi suffit sans calculs...
(N-B : Par notations, je n'entends pas l'usage du Latex, mais des maths... Avec la barre d'outils des messages, je peux noter :
phi^{(log_phi(phi)-1)}
J'avoue, je ne l'aurais pas cherchée...
Un pt'tit coup de Python suffisait pour constater que c'était vrai :

>>> from math import log, sqrt

>>> phi=(1+sqrt(5))/2

>>> l1=pow(phi,log(phi,phi)-1)

>>> l1

1.0

>>> l2=pow(phi,log(phi,phi)-2)

>>> l2

0.6180339887498948

>>> l1+l2-phi

0.0

Là, j'aurais cherché pourquoi...
Parce que j'avais essayé via $\ln$ avec $\varphi^{\ln(\varphi)-1}+\varphi^{\ln(\varphi)-2}$ sans aboutir, j'en avais déduit que la propriété devait être (et pour cause !) et pour bien enfoncer le clou, j'ai utilisé quelques contre-exemples, là ou un suffisait).

J'avais tort, et Alain raison - pour une fois, il n'enfonçait pas des portes ouvertes - cela mérite d'être souligné !!!
Il faut lui rendre grâce de son inventivité !

Cela dit, "le plus grand mathématicien du monde" devrait s'astreindre, lorsqu'il s'adresse au commun des amateurs de mathématiques, à respecter scrupuleusement les notations et autres symboles : imaginons-nous ce que deviendrait parler français sans en respecter les conventions, la grammaire ?

Oui, je suis furieux et frustré !

Alain, tu as été déclaré ici (et ailleurs) persona non grata, mais tu t'en moques et tu évites d'être membre pour ne pas pouvoir être banni (cela pourrait avoir d'éventuelles répercussions sur la connectabilité d'autres membres qui n'en pourraient mais...) et moi, j'ai autre chose à faire que de te "faire la chasse"...
Alors, sois tu reconnais que tu ne connais pas les notations (fâcheux pour ta réputation !) soit que tu t'en moques (et dans ce cas, je m'astreindrai à supprimer tes prochains posts les uns après les autres jusqu'à ce que tu reviennes à de meilleurs sentiments), sois tu fais le nécessaire et que tu éviteras à l'avenir de prétendre (par exemple) que $\sqrt 2$ est rationnel ce qui est l'équivalent d'inventer la roue
carrée ou de prétendre que la Terre est plate.

Merci !

@+

[EDIT]
Je n'exclus pas plus que, pour Alain, "rendre rationnel √2", n'ait pas le même sens que pour moi... Attendons !

Dernière modification par yoshi (24-05-2023 11:06:03)

A Ratomahenina · 24-05-2023 11:57:01

Bonjour

Vous avez parfaitement raison : pour obtenir x il suffit de calculer Phi^log(x) : j'ai été un peu vite....
Pour racine de deux aussi : il est impossible d'exprimer√2 sous forme d'une fraction de deux nombres entiers. . Ces nombres existent mais ils sont d'une longueur infinie donc impossibles à calculer .
Dans mon cas il s'agit d'une FORMULE composée de plusieurs fractions simples de nombres entiers qui a pour résultat l'intégralité des décimales de racine carrée de deux et ce EN UNE SEULE FOIS .
Vous voyez donc que c'est possible .

Glozi · 24-05-2023 13:23:53

Bonjour,

il est impossible d'exprimer√2 sous forme d'une fraction de deux nombres entiers. . Ces nombres existent mais ils sont d'une longueur infinie donc impossibles à calculer.

Non, soyons clairs : des nombres (dans notre contexte des entiers naturels) ne sont par définition pas de "longueur" infinie (enfin il faudrait d'abord dire ce qu'est la longueur d'un nombre). Ainsi $\sqrt{2}$ ne s'écrit pas comme le quotient de deux entiers, et encore moins comme le quotient de deux entiers infinis puisque ces derniers n'existent pas.

Sinon "formule" ça veut dire beaucoup de choses...
Par exemple $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$.
Par exemple $\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots}}}$.
Par exemple $\sqrt{2}=\left(1+\frac{1}{1}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1-\frac{1}{7}\right)\dots$ (due à Euler)
sont trois formules ne faisant intervenir que des nombres entiers, mais pour la première aussi une puissance, pour la deuxième et troisème des points de suspension (il s'agit d'objets limites).

Si tu as une formule $\sqrt{2}=\dots$ avec à droite que des nombres entiers, des additions, des multiplications, des soustractions et des divisions en quantité finie (on évite les $\dots$, pas de puissance, pas de radical $\sqrt{\cdot}$, pas de log etc...) alors je suis curieux (voire même un peu sceptique).

@Yoshi, désolé je ne m'étais pas rendu compte de la tournure peu claire de mon précédent message.
Bonne journée

yoshi · 24-05-2023 19:12:25

RE

Glozi a écrit :

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots}}}$

il me semble bien avoir lu quelque que le module decimal de Python qui me permet d'aller chercher 25000 décimales pour une racine carrée (et donc évidemment pour $\varphi$), ou cubique non entière repose sur ce principe des fractions continues (j'ai lu qu'il faudrait dire continuées !?!...)
Pour le manque de clarté, pas si grave, puisque j'ai compris quand même...
Alain R me met en rogne et après il m'arrive d'être moins tolérant... Que celui qui prétendrait être toujours parfaitement clair te jette la première pierre.

Quant à ce qui va suivre, M. Alain R insistant lourdement, nonobstant le fait qu'il ait un lourd passif aussi dans d'autres forums, je me sens obligé de montrer les dents et d'user de coercition...
A moi aussi, il arrive de gaffer, mais soit je m'en aperçois, soit on me le fait remarquer et je rectifie le tir avec mes plates excuses à la clé : Charité bien ordonnée commence par soi-même...

A Ratomahenina a écrit :

pour obtenir x il suffit de calculer Phi^log(x) : j'ai été un peu vite

NON ! C'est FAUX !, même si dans ta tête, c'est juste, parce qu'évidemment, pour toi $\log(x)$ équivaut à $\log{\varphi} (x)$...

Tu persistes ? Donc, c'est de la provoc pour voir si je vais tenir parole ? De la paresse intellectuelle ? La méconnaissance de ce que $\log(x)$ désigne le logarithme à base 10, encore appelé logarithme décimal, le logarithme à base $e$ (pour exponentielle), ou logarithme népérien se note maintenant $\ln(x)$ (du temps où j'étais Lycéen - ça commence à dater : de 1958 à 1966 - il était noté Log(x) avec un L majuscule), que le logarithme dans tout autre base b se note $\log_b(x$).
Ainsi $\log(x)$ est _ par défaut si la base n'est pas mentionnée - $\log_{10}(x)$. Alors, $\log_{10}(10)=1$ et donc $x=\log(\varphi)=\log_{10}(\varphi)\approx 0.20898764024997873$
Je demande à Python la valeur approchée de $phi**x$ , donc de phi**(log(phi,10)) et j'obtiens : 1.105798085704719...
Par contre si je demande phi**(log(phi,phi)), il me rend 1.618033988749895, soit phi ou encore : phi**log(23,phi) = 23,0...

$\log(a)=\log_{10}(a)$

Et je t'ai montré qu'avec la barre d'outils des messages où in trouve les balises exposant et indice, on s'en sort sans Latex.
Tu dois penser que je suis pénible, pourtant si on était entre nous, ça pourrait passer (et encore), mais d'autres lisent le Forum, dont les connaissances ne sont peut-être pas encore très affirmées, et ils pourraient pense " Bah, Alain R a raison, yoshi est trop à cheval sur les notations" et paf, ils te suivent dans tes errements... pour un de leurs prochains devoirs et repaf, ils se font gauler par leur prof... Qui sera responsable ? Hein ?
Alors, j'attends que tu fasses amende honorable...
C'est trop te demander ? Tu es au dessus de ça ?

J'ai pris un engagement public, je le tiendrai !
Je te laissé une chance, à toi de la saisir, sinon, tu auras choisi ta solution en toute connaissance de cause !
Ferais-tu encore partie des gens qui écrivent :
100 kms, cents euros, 10 mn ?

Les membres qui insistaient dans le passé pour prétendre que $\mathbb R$ était dénombrable et que Cantor (avec sa diagonale) était dans l'erreur, et qui n'ont pas voulu en démordre ont été bannis (avec l'aval de Fred) : on ne laisse pas écrire sur notre forum des inepties mathématiques, par respect pour ceux qui nous lisent et nous font confiance, afin qu'ils ne soient pas induits en erreur par notre négligence (coupable) éventuelle.

Mon engagement, je vais le tenir et dès ton prochain post, alors, attention !
Ai-je été suffisamment clair ?

A bon entendeur...

Yoshi
- Modérateur -

A Ratomahenina · 26-05-2023 11:54:25

Bonjour

@Yoshi . Je suis désolé c'est de ma faute : cela ne se reproduira plus .

@Glozi : Exactement ! Je dispose d'une formule qui répond exactement à tes critères mais je ne peux satisfaire ta curiosité car j'ai décidé de la tenir au secret car je veux la vendre . L'idéal serait que ceci revienne à la France .

Michel Coste · 26-05-2023 12:20:25

A Ratomahenina a écrit :

Je dispose d'une formule qui répond exactement à tes critères

Je rappelle ces critères : "que des nombres entiers, des additions, des multiplications, des soustractions et des divisions en quantité finie".
Les formules qui répondent à ces critères ne produisent que des nombres rationnels. C'est clair car [tex]\mathbb Q[/tex] contient les entiers et est stable par addition, multiplication, soustraction et division à diviseur non nul.

Conclusion Ratomahenina veut vendre du vent !

A Ratomahenina · 26-05-2023 16:37:54

Re

@Michel Costes . Effectivement ma formule ne peut être que rationnelle mais c'est ce que j'ai annoncé au début : j'ai réussi à rendre rationnelle la racine carrée de deux d'où l'exploit ! Tu ne fais qu'appuyer mes dires ...

Michel Coste · 26-05-2023 16:44:22

Tu prétends de nouveau que [tex]\sqrt2[/tex] est un nombre rationnel.
Tu es donc un charlatan.

yoshi · 27-05-2023 18:50:54

Bonjour,

Si tu es aussi brillant que tu aimes à le croire, alors avec toutes ces réactions dubitatives voire négatives, tu dois souffrir d'un manque de reconnaissance, d'une frustration, bien compréhensibles....
Mais, c'est de ta faute : tu adoptes systématiquement la posture de celui qui a raison contre tout le monde, niant l'évidence et les preuves que tu as sous le nez...

Je t'offre une porte de sortie honorable qui, de ton côté, peut aussi être vue comme une chance de prouver que tu as raison.

Supposons que tu aies réellement montré la rationalité de $\sqrt 2$ : or, moi, je t'ai fourni une démonstration par l'absurde, qui montre que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel.
Donc, c'est que de ton point de vue, la démonstration est fausse....

Alors, je te dis : chiche ! Montre-nous que cette démonstration est fausse ou tais-toi !
Pour ce faire je vais te simplifier la tâche.
Je reprends.
1. Qu'est-ce qu'un nombre rationnel k ?
Si un nombre k est rationnel, alors il existe deux nombres entiers relatifs $p$ et $q$ premiers entre eux tel que $k=\frac p q$.
Comprendre : je peux toujours trouver $p$ et $q$ $\in \mathbb N$ tels que $PGCD(p,q)=1$ et $k=\frac p q$
D'accord ou pas ? Ou contestes-tu la définition d'un nombre rationnel ?

Exemple.
Ainsi le nombre $k=3,393939......$ que l'on désignait en 4e (du temps où c'était encore au programme) sous le nom de suite décimale périodique illimitée, est un exemple de nombre rationnel...
On a :
$100k=339,393939..$
$ k = 3,393939...$
D'où :
$99k = 336$
$k =\frac{336}{99}=\frac{112}{33}$ j'ai simplifié la fraction pour la rendre irréductuble
PGCD(112,33)=1
112 et 33 sont premiers entre eux. Ici p=112 et q=33

(Si une telle fraction $\frac p q$ n'est pas irréductible donc que PGCD(p,q)>1, je peux la simplifier en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD, on aura alors un numérateur et un dénominateur premiers entre eux...
(Programme de 3e et exercice courant du Brevet des Collèges)

2. Supposons que $\sqrt 2$ soit rationnel.
Alors il existe $p$ et $q$, ici de $\mathbb N$, tels que PGCD(p,q)=1 et $\sqrt 2= \frac p q$
D'accord ou pas ?

3. Puisque $\sqrt 2= \frac p q$ alors $\frac {p^2}{q^2}=2$
Ou encore $p^2 = 2q^2$ (*)
Or, un nombre pair, puisque multiple de 2, s'écrit donc sous la forme $2n$ où $n$ est un entier naturel...
$2q^2$ est bien dans ce cas, donc puisque $p^2=2q^2$ est un nombre pair.
D'accord ou pas ?

4. $p^2$ étant un nombre pair, qu'est ce que je peux dire de $p$
Il n'y a que deux possibilités : soit $p$ est pair soit il est impair...
Un nombre impair est égal à un nombre pair +1.
Soit i est un nombre impair, alors il existe $k in \mathbb N$ tel que $i=2k+1$...
Mais, qu'en est-il de $i^2$ ?
$i=(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ qui est un nombre impair. En effet $4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$...
Le carré d'un nombre impair est un nombre impair. Donc $p^2$ étant pair, p ne peut pas être impair, il est donc pair.
Donc il existe $p' \in \mathbb N$ tel que $p=2p'$
Mais $p^2 = (2p')^2 = 4p'^2$ est donc plus qu'un nombre pair c'est un multiple de 4...
D'accord ou pas ?

5. Dans l'égalité (*) je remplace $p^2$ par $4p'^2$.
D'où : $4p'2=2q^2$ que je simplifie par 2, ce qui donne $q^2=2p'^2$ (**)
D'accord ou pas ?

6. Mais je peux reprendre le raisonnement des points 3, 4 et 5 et arriver à dire que $q^2$ étant pair, donc qu'il existe $q' \in \mathbb N$ tel que $q=2q'$. $p$ et $q$ étant tous deux pairs la fraction $\frac p q$ n'est pas irréductible...
D'accord ou pas ?

Conclusion finale.
J'ai supposé au début que $\sqrt 2$ est un nombre rationnel, donc que je peux choisis $p$ et $q$ $\in mathbb N$ premiers entre eux (i.e PGCD (p,q)=1 donc que la fraction $\frac p q$ irréductible, ce que je fais !
Mon hypothèse étant
Je prends $p$ et $q$ $in \mathbb N$ tels que PGCD(p,q)=1 et $\sqrt 2=\frac p q$ irréductible
Mon raisonnement montre alors

Mon raisonnement montre alors que $\frac p q$ n'est pas irréductible. Je suis en contradiction avec l'hypothèse.

C'est le principe du raisonnement par l'absurde :

Partir de la négation de ce que qu'on veut prouver :
(ici je veux montrer que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel, donc je suppose que $\sqrt 2$ est rationnel)
Raisonner
Arriver à une contradiction, une impossibilité :
(On a choisi $p$ et $q$ $in \mathbb N$ tels que PGCD(p,q)=1, et on arrive à p et q multiples de 2, donc que PGCD(p,q)$\neq 1$)
ce qui prouve que le raisonnement étant sans faute, l'erreur vient du point de départ et que ma négation était fausse :
(Ici, mon point de départ a été $\sqrt 2$ rationnel ce qui est donc faux...)
$\sqrt 2$ n'est pas rationnel...

N-B : il existe d'autres démos par l'absurde, moi j'aime bien celle-là !

@+

Gui82 · 28-05-2023 02:18:18

Bonjour,

On a à nouveau du très grand Alain Ratomahenina, j'avais entendu parler sur un autre forum d'une discussion où il affirmait que [tex]\sqrt{2}[/tex] était rationnel, malheureusement le topic avait été supprimé... J'espère voir sa démonstration, mais je crains que la marge ne soit trop petite pour la contenir...

Sinon, plus sérieusement, pour démontrer par l'absurde que [tex]\sqrt{2}[/tex] est bien irrationnel, j'aime bien l'argument suivant, simple mais efficace :
En partant du point 3 : [tex]p^2=2q^2[/tex], [tex]2[/tex] apparaît avec un exposant pair dans le terme de gauche et un exposant impair dans le terme de droite, ce qui contredit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

yoshi · 28-05-2023 11:38:33

Bien le bonjour,

Notre ami a beaucoup écrit sur les forums et il a raison, ce n'est pas prudent...
Même que Pythagore, avec sa machine à voyager dans le temps, était allé jusqu'à notre époque, et c'est ainsi qu'il avait découvert un théorème : il lui a volé, est retourné à son époque, l'a publiée... C'est ainsi que le monde entier a pu lui en attribuer la paternité !

Blague à part, Alain il a laissé tellement de traces sur la Toile que j'ai fini par en trouver une intéressante et qui éclaire un peu sa pensée.
En effet pour lui, non seulement $\sqrt 2$ est rationnel, mais il n'a qu'un nombre fini de décimales...

Là, je crois que c'est sans espoir...
J'y renonce, mon père me répétait assez qu'on ne peut pas faire boire un âne qui n'a pas soif.
Mais comme il risque encore d'y voir une insulte, je dirais plutôt : il n'est pire sourd que celui qui ne veut pas entendre !

Donc voilà : je lui laisse le mois de juin pour chercher sur Internet et prendre connaissance de deux autres démonstrations par l'absurde prouvant que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel et de montrer qu'elles sont fausses.
Faute de quoi, à dater du 1er juillet je supprimerai sans remords tout nouveau post de sa part...

On aura suffisamment perdu de temps avec des non-sens mathématiques...

Tic ! Tac ! Tic ! Tac !....

Yoshi
- Modérateur -

A Ratomahenina · 28-05-2023 11:53:24

Bonjour

Je sais parfaitement que vous mourrez tous d'envie de connaître ma formule mais elle a un prix :
xxxxxxxxxx € que j'estime comme juste récompense à mon travail .
Essayez de lancer une campagne de crowdfunding en expliquant bien de quoi il s'agit cela pourrait peut être marcher .

Dernière modification par yoshi (28-05-2023 12:34:08)

yoshi · 28-05-2023 12:33:27

Re,

1. Ta formule ne peut qu'être fausse. Je ne vais pas payer pour une élucubration...

Je sais parfaitement que vous mourrez tous d'envie (...)

Un seul r, s'il te plait...
Oh que non, je n'en meurs pas d'envie !!! Tu ne veux pas qu'on examine ta formule ?
Bin, ça te regarde après tout...
D'ailleurs, c'est mieux pour ta santé mentale : la conclusion porterait un tel coup à ton ego, qu'elle ne s'en remettrait pas...
Garde ta formule : je ne m'en porterais ni mieux, ni plus mal...
Aurais-tu pris le post de Wiwaxia au 1er degré ? Tu es un encore un grand naïf, après tout...

2. Je t'ai suggéré une solution qui respecte ton "secret" et qui financièrement ne coûte rien à personne:

Yoshi a écrit :

Donc voilà : je lui laisse le mois de juin pour chercher sur Internet et prendre connaissance de deux autres démonstrations par l'absurde prouvant que √2 n'est pas rationnel et de montrer qu'elles sont fausses.
Faute de quoi, à dater du 1er juillet je supprimerai sans remords tout nouveau post de sa part...

Je veux bien t'accorder que ce serait mission impossible...
Ceci dit, si tu arrivais, cela aurait un sacré retentissement et tu attirerais l'attention sur ta formule.
Je l'espère en sécurité dans un coffre d'une banque suisse, datée et cette date attestée par une personne assermentée...

Je te signale que, à mon sens, ta proposition chiffrée est contraire à nos règles. En conséquence, je l'ai censurée. Notre responsabilité serait engagée si je permettais cette opération commerciale à caractère trompeur...

@+

Les différentes démonstrations dont je parle, n'ont rien rapporté à leurs auteurs : elles sont du domaine public
Tic ! Tac ! Tic ! Tac !....
Tu perds du temps, le chrono tourne...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 20-03-2023 20:02:31

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#27 20-03-2023 20:26:53

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#28 21-03-2023 11:17:58

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#30 22-03-2023 17:27:25

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#31 24-03-2023 11:30:07

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#32 24-03-2023 13:35:33

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#33 25-03-2023 13:46:24

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#34 22-05-2023 11:27:33

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#35 22-05-2023 11:57:50

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#36 23-05-2023 15:58:39

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#37 23-05-2023 17:27:56

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#38 24-05-2023 10:52:00

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#39 24-05-2023 11:57:01

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#40 24-05-2023 13:23:53

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#41 24-05-2023 19:12:25

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$\log(a)=\log_{10}(a)$

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#49 28-05-2023 11:53:24

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#50 28-05-2023 12:33:27

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