Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

A Ratomahenina · 08-03-2023 14:48:00

Bonjour

Cette méthode est identique à celle de Héron : on prend X1 pour calculer x2 et on prend x2 pour calculer X3 et ainsi jusqu'à l'infini .

Voici la fonction :

1 + ( 1 / X1 ) = x2

On initialisé X1 à 1 et le calcul donne ceci :

2
1.5
1.6666666....
1.6
1.625

On voit bien que le résultat oscille autour du fameux nombre d'or .

Roro · 08-03-2023 15:37:39

Bonjour,

Etant donné que le nombre d'or $\Phi$ est la racine positive de $x^2-x-1=0$, autrement dit de $x=1+\displaystyle \frac{1}{x}$, la suite définie par récurrence par $u_{n+1} = 1+\displaystyle \frac{1}{u_n}$ converge vers $\Phi$...

Je pense que c'est hyper classique et qu'on doit trouver ça dans des exercices du lycée (enfin, peut être en L1 maintenant car il faut regarder les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$...)

Roro.

Dernière modification par Roro (08-03-2023 15:39:31)

À Ratomahenina · 11-03-2023 15:11:29

Bonjour

Il existe un autre moyen de calculer le nombre d'or grâce aux racines imbriquées :

√( n + x1 ) = x2

Pour n=1 ceci donne le nombre d'or tandis que n=1.5 ceci donne :

Phi' = 1.822875655

Ce nombre élevé au carré donne :

3.322875655

Ce qui donne Phi' = 1.5 + Phi' tout comme pour n=1 .

Pour n=2 Phi''=2 et c'est là le seul nombre remarquable .

Je demontre qu'il existe une infinité de nombres d'or et le nombre 2 serait le seul .

yoshi · 11-03-2023 23:12:33

Bonsoir,

https://www.herodote.net/nombre_d_or-mot-533.php a écrit :

Le « nombre d'or » est un nombre irrationnel censé représenter une harmonie divine. Il a été sans doute découvert par des mathématiciens grecs de la haute Antiquité. Euclide (vers 300 av. J.-C.) l'évoque dans ses Éléments de géométrie. Il a été redécouvert à la Renaissance et, plus récemment, l'architecte Le Corbusier l'a remis à l'honneur dans son Modulor.
Désigné par la lettre grecque φ, le nombre d'or se définit comme le rapport entre deux nombres tel que « le plus petit nombre est au plus grand ce que le plus grand est à leur somme » : (a+b)/a= a/b. Il vaut très exactement (1+√5)/2, soit approximativement 1,618...
Leonardo Fibonacci, un mathématicien réputé né à Pise en 1175 et formé à l'usage des chiffres arabes et de la comptabilité à Béjaïa (Algérie actuelle), a montré que le nombre d'or n'était pas seulement une lubie mathématique mais aussi une réalité inscrite dans la Nature sous la forme d'une suite qui porte son nom.

Ensuite :

Alain R a écrit :

Je demontre qu'il existe une infinité de nombres d'or et le nombre 2 serait le seul.

Il faudrait savoir :
- soit il existe une infinité de nombres d'or,
- soit le nombre 2 est le seul.
Les 2 affirmations s'excluent l'une l'autre...
$\phi$, le nombre d'or, est le seul nombre réel supérieur à 1, tel que $\phi = 1+\frac{1}{\phi}$, ce mot déposé correspond à une définition mondialement acceptée... Sauf par toi ?
Recherchons s'il existe une solution positive à l'équation :
$x= 1+\frac{1}{x}$
$\Longleftrightarrow$
$x^2=x+1$
$\Longleftrightarrow$
$x^2-x-1=0$
$\Delta =1+4 = 5 = (\sqrt 5)^2$
$x_1,x_2 =\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$
Cette solution positive existe, elle est unique, c'est elle qui a été baptisée nombre d'or (ou divine proportion) : $\frac{1+\sqrt 5}{2}$...
Qui t'a fait roi ?
Qui te permet de baptiser nombre d'or tout autre nombre que $\frac{1+\sqrt 5}{2}$ ?
Dans ce cas, au point où tu en es, qu'attends-tu pour annoncer que Fermat, le mathématicien bien connu était un imposteur et que Fermat, c'est toi ?
$\sqrt 5 \approx 2.2360679774997896964091736687312762354406183596115257242708972454105209256378049...$
(Tu veux 20000 décimales ? Ca ne me prendrait qu'une poignée de secondes...)
Ta méthode te le permettrait-elle de les obtenir (même une centaine seulement), si tu la programmais ?

Autre propriété : $x_1\times x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}\times \frac{1-\sqrt 5}{2}=-1$

@+

A Ratomahenina · 14-03-2023 12:06:51

Bonjour

Si on prend l'équation de base :
x^2 - x - 1 = 0

Sa généralisation sera :
x^2 - x - n = 0

n étant quelconque x^2 est égal à x + n

yoshi · 14-03-2023 14:01:20

Bonjour,

Mon père aimait à me répéter : << On ne peut pas faire boire un âne qui n'a pas soif ! >>
Moi, je vais me contenter de te dire : << Il n'est pire sourd que celui qui ne veut pas entendre ! >>...
J'ai bien conscience hélas, que je gaspille mon énergie, je me souviens d'une de tes déclarations selon laquelle Google avait écrit que tu étais le plus grand mathématicien du monde...
Comment le plus grand mathématicien du monde pourrait-il se tromper ? C'est un non sens !!!
Tu es infaillible... comme les papes successifs, mais les concernant, c'est un dogme...

J'insiste quand même, parce que quelqu'un a écrit (j'ai la flemme de chercher son nom) : les chants désespérés sont les chants les plus beaux !...
Tant pis, j'aurais essayé...

Le monde entier a accepté de donner au nombre réel $\frac{1+\sqrt 5}{2}$ Le nom de "Nombre d'or"...
La discussion à ce sujet est close, un seul nombre a été baptisé nombre d'or : $\frac{1+\sqrt 5}{2}$...
Cela a commencé avec Euclide, ça ne date pas d'aujourd'hui...
Les peintres, sculpteurs, architectes (je n'ai connaissance que d'un seul : Le Corbusier) l'ont utilisé et son surnom est "divine proportion"...
Pourquoi ?
Soit un rectangle de longueur $L=y$ et de largeur $l=x$ tel que $\frac y x = \varphi$
Soit ABCD un tel rectangle avec $AB = DC =y$ et $AD = BC = x$...
Sur le côté [AB], je place le point M tel que AM = AD, sur [DC] je place N tel que AMND soit un carré.
Quel sera la valeur du rapport $\frac{MN}{MB}$ ?
$\frac{MN}{MB}=\frac{x}{y-x}$
Je suis parti de $\frac{y}{x}=\varphi$, soit $y=\varphi x$

Donc : $\frac{MN}{MB}=\frac{x}{\varphi x -x}=\frac {1}{\varphi -1}$
A quelle condition a-t-on encore : $\frac{MN}{MB}=\varphi$ ?
Ma foi...
Il suffit de résoudre l'équation $\varphi=\frac {1}{\varphi -1}$ :
$\varphi=\frac {1}{\varphi -1}\Longleftrightarrow \varphi ^2-\varphi-1=0$
La seule solution positive de cette équation est :
$\varphi =\frac{1+\sqrt 5}{2}$...
Seul ce nombre $\varphi$ permet d'obtenir le nouveau rectangle MBCN tel que $\frac{MN}{MB}=\varphi$..

Et si, dans ce rectangle MBCN (également donc, un "rectangle d'or") je place sur [MN] le point R et sur [BC], le point S , tel que RS = MB, (MBSR est donc un carré), alors le rectangle RSCN sera encore un rectangle d'or :
$\frac{RS}{RN}=\varphi =\frac{1+\sqrt 5}{2}$

Seul ce nombre permet d'obtenir cela, voilà pourquoi il est baptisé nombre d'or et surnommé "divine proportion"...
Fais donc la même chose avec n'importe quel nombre obtenu à partir de ton équation revue $x^2-x-n=0$ et on en reparlera...

@+

Bernard-maths · 15-03-2023 17:46:05

Bonjour à tous !

Sur le site Balises, on signalait il y a 2 ans :
Soit l’équation x^2 -x -d = 0 qui admet comme unique solution positive x1 = (( 1 + (1 + 4.d )^1/2)/2,
le nombre (( 1 + (1 + 4.d )^1/2)/2 s’appelle le nombre d’or généralisé avec d réel positif différent de 1.

Ce nom est-il mérité ?

Par contre j'ai trouvé une équation "sympa" : x² - dx - d² = 0 ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (15-03-2023 17:47:21)

yoshi · 15-03-2023 20:18:59

Bonjour Bernard,

Bin mon gaillard, pourquoi ne t'es-tu pas lancé avec Latex ?
Parce que $x_1=\cfrac{1 +\sqrt{1 + 4d}}{2}$, c'est quand même autrement plus lisible que x1 = (( 1 + (1 + 4.d )^1/2)/2 non ?

Question : cette appellation (qui m'était inconnue) est-elle adoptée internationalement ?

Et je réponds à la tienne par la négative...
Soit $k=\cfrac{1 +\sqrt{1 + 4d}}{2}$, ton nombre d'or généralisé
Soit un rectangle ABCD de largeur $AD=BC=x$ et de longueur $AB=DC=kx$
Soit $M\in[AB)$ et $N \in [DC)$ tels que $AM=DN=x$

Je ne vais pas reprendre mes calculs, mais ce "nombre d'or généralisé", k, ne permettra à mon rectangle MBCN d'être tel que $\cfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}=k$ si ce k vérifie être la seule solution positive de $k=\cfrac{1}{k-1}$, soit de $k^2-k-1=0$
d'où $k=\cfrac{1 +\sqrt 5} {2}$
Or, par hypothèse $k=\cfrac{1 +\sqrt{1+4d}} {2}$
Il y a donc une contradiction qui ne ne disparait qu'avec d =1...

Conclusion : si les peintres, architectes, sculpteurs, mathématiciens n'ont reconnu qu'un seul nombre d'or, $\varphi=\cfrac{1 +\sqrt 5} {2}$, c'est qu'il est le seul à permettre de partager "à l'infini", un rectangle de départ en un carré et un nouveau rectangle, lequel nouveau rectangle aura une nouvelle Longueur (la précédente largeur) et une nouvelle largeur dans le même rapport que le précédent...

Si ABCD est un rectangle tel que $AB=\varphi AD$
alors
MBCN est un rectangle tel que $MN=\varphi MB$
alors
RSCN est un rectangle tel que $RS=\varphi RN$
alor
RTVN est un rectangle tel que $RN=\varphi RT$
alors...
Et ceci n'est possible que si "mon" $\varphi=\cfrac{1 +\sqrt 5}{2}$, donc que si ton d ou son n dans l'équation valent 1...

@+

Bernard-maths · 15-03-2023 21:40:13

Bonsoir Yoshi !

J'ai recopié sur le site, pas de latex ...

Par contre tu n'as pas étudié mon équation "sympa" ...

Mais je ne vois pas ce que ça peut donner !

B-m (w, une lubie ?)

yoshi · 15-03-2023 22:48:54

Re,

Bernard_m a écrit :

Par contre tu n'as pas étudié mon équation "sympa"

Si.. mais je ne ni rien trouvé qui me frappe là-dedans..
En prenant pour des entiers >0, sous la racine, j'ai pas mal de nombres apparemment premiers (pas testés) soit des multiples de 5 (ou 25)...
Par ex :
pour d= 1 je retrouve $\varphi$
pour d =2, je tombe sur $\cfrac{2\pm\sqrt{17}}{2}$
pour d=5, je tombe sur $\cfrac{5\pm\sqrt{101}}{2}$
pour d=9, je tombe sur $\cfrac{9\pm\sqrt{325}}{2}$ ; $325 =25 \times 13$
...............

Bof, le w... Dans la vie courante, on abrège, on dit : j'me suis payé une BM...

@+

Bernard-maths · 16-03-2023 08:23:00

onjour !

Moi je trouve : Δ = 5d², d'où x1 = d φ ... x2 = d(1 - φ).

J'essaye de bricoler autour, mais pas grand chose pour le moment, si ce n'est un enchainement de rectangles semblables.

Le vert image du grand ABCD par homothétie centre A rapport 1/2, puis rouge est symétrique du vert par rapport à la droite d : on obtient le bout gauche AEFD du grand rectangle ABCD. Et on recommence ...

On utilise la similitude indirecte de centre A, de rapport 1/2 et d'axe la droite d.

Ici, le rapport des longueurs est AB/BC = 2, donc ... d φ = 2, d = 2/φ ???

Mais c'est vrai quel que soit le rectangle ABCD de départ, non carré ! Si AB > BC, on retrouve la situation d'ici, les rectangles vont en diminuant. Si AB < BC, les rectangles vont en grandissant ...

Bernard-maths

PS : pourquoi BMW s'appelle ainsi ?

Dernière modification par Bernard-maths (16-03-2023 09:18:25)

yoshi · 16-03-2023 10:24:13

RE,

Je m'étais penché il y a un certain temps sur le sens des sigles automobiles ou aéronautiques (pour ces derniers, il y a de quoi faire...):
BMW = Bayerische Motoren Werke

-------------------------------------

Par contre j'ai trouvé une équation "sympa" : $ x^2 - dx - d^2 = 0$

Oui, $\Delta=d^2+4d^2= 5d^2 = (d\sqrt 5)^2$
$x_1=\cfrac{d+ d\sqrt 5}{2}=d\left(\cfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)=d\varphi$, curieux... défi que tu m'a lancé !
Je me suis mélangé les crayons avec l'équation d'Alain...

@+

A Ratomahenina · 16-03-2023 14:48:10

Bonjour

Alors comme ça m'a généralisation était déjà connue et ni Yoshi ni Wikipédia ne le savait ?

Bernard-maths · 16-03-2023 15:17:14

Bonjour !

Cela arrive souvent ! Combien de (centaines ?) de mathématiciens ont trouvé, et retrouvé la même chose ... Mais ils ne le savaient pas, par manque de "transmission" ...

Alors maintenant je ne dis plus que j'ai découvert le premier un résultat, j'attends qu'on vienne me dire "ah oui, Machin l'a trouvé déjà en l'an ...29"

Le principal (pour moi) est de bien se distraire en faisant ces recherches !

Bernard-maths

yoshi · 17-03-2023 22:35:05

Bonsoir,

ni Yoshi ni Wikipédia ne le savaient ?

C'est normal, je suis infiniment éloigné de tout connaître et je le sais...
Par contre, pour moi, la question est résolue : il n'y a pas de nombre d'or généralisé. C'est une appellation totalement bidon : j'ai prouvé que seul $\varphi$ permet de reproduire à l'infini, à l'intérieur d'un rectangle d'or initial donné, des rectangles d'or de plus en petits et dont le rapport $\cfrac L l$ est constant et égal à $\varphi$.

@+

A Ratomahenina · 18-03-2023 16:31:12

Bonjour

En partant de l'équation de base j'ai découverts ceci :

Phi^4 - Phi^3 - Phi^2 = 0

Ou

Phi^5 - Phi^4 - Phi^3 = 0

Roro · 18-03-2023 19:05:39

Bonjour,

J'ai moi aussi fait une découverte "étonnante" :
$$\varphi^{313} - \varphi^{312} - \varphi^{311} = 0$$

Je ne sais pas si il y a un lien avec le fait que 313 et 311 sont deux nombres premiers jumeaux :-p

Roro.

Bernard-maths · 18-03-2023 19:27:49

Bonsoir !

Roro, j'ai plus fort : 1 -φ^-1 - φ^-2 = 0 ! MOI je sais diviser par φ²

Et BMW alors ? (Yoshi s'est trompé !)

Et x1 = d.φ ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-03-2023 19:39:00)

yoshi · 18-03-2023 22:09:54

Re,

Yoshi s'est trompé !

Nan, nan tu te trompes... mais pas la tienne, donc ! Je vais creuser, mon bon...
C'est une interprétation valable du sigle ou de l'acronyme si on prend ça au pied de la lettre comme ce fut mon cas...
D'ailleurs, j'ai interrogé Google tout à l'heure, je lui ai soumis les 3 lettres BMW, et j'ai eu à 14 pages de réponses sur les Woitures...
Cela dit, je subodore alors que ta parenthèse :

(w, une lubie ?)

cache quelque chose... Mais quoi ?

N'est-ce pas, cher Sire Bernard du Middle West ?

@ pluche

Bernard-maths · 18-03-2023 22:31:34

Bonsoir à tous !

Rappelez vous quand vous jouiez avec des petites voitures (dans votre tendre jeunesse) et que vous faisiez le bruit du moteur ...
Bbmmww ... Broummmwww

Les fondateurs de BMW aussi !

Dernière modification par Bernard-maths (18-03-2023 22:52:27)

A Ratomahenina · 19-03-2023 17:49:34

Bonjour

Pour revenir au sujet m'a découverte ne fonctionne qu'avec Phi' mais ça marche aussi avec 2 tel que :

2^5 - 2^4 - 2×2^3 = 0

Ça marche aussi avec des exposants non entiers pour Phi' .

Cette démarche en appelle à la suite de Fibonacci qui vérifie x^2 - x - 1 = 0 .

yoshi · 19-03-2023 22:42:06

Re,

Une tête de mule, je vous dis...

2^5 - 2^4 - 2×2^3 = 0

Pour une découverte, ça c'est une découverte !
Euh...
En fait, même un élève de 4e serait capable de te dire que :
1. $2\times2^3 =2^1\times 2 ^3 = 2^{1+3} = 2^4$
2. $2^5 - 2^4 - 2\times 2^3 = 2^5 - (2^4 - 2×2^3)=2^5 - (2^4+ 2^4)=2^5 -2\times 2^4=2^5 -2^5=0$

Et que par conséquent (clin d’œil à Roro) :
$2^{313}-2^{312}-2\times 2^{311}= 0$

Rien à voir avec $\varphi$, c'est simplement parce que $2+2=2\times 2= 2^2$

T'en veux une autre ?
Hommage à Roro : $3^{313}-3^{312}-2\times 3\times 3^{311}= 0$

@+

[EDIT]

yoshi a écrit :

Rien à voir avec $\varphi$, c'est simplement parce que $2+2=2\times 2= 2^2$

Je me suis aperçu, hier soir, grâce à notre amie commune (Morphée) que si c'était vrai, c'était un peu réducteur.
En effet, j'ai généralisé, rien de bien sorcier.
En respectant la présentation de Me Alain :
Soient $p,\,n \in \mathbb N^*$ alors $p^{n+2}-p^{n+1} - (p-1)\times p\times p^n = 0$

Et donc :
$3^{313}-3^{312}-2\times 3\times 3^{311}= 0$ : c'est $3^{313}-3^{312}-(3-1)\times 3\times 3^{311}=0$

p=4 et n =311 :
$4^{313}-4^{312}-(4-1)\times 4 \times 4^{311}= 0$ soit : $ 4^{313}-3^{312}-3\times 4 \times 4^{311}= 0$

p=5 et n=1024 :
$5^{1026}-5^{1025}-(5-1)\times 5 \times 5^{1024}= 0$ soit : $5^{1026}-5^{1025}-\times 4 \times 5^{1024}= 0$

Si Me Alain veut bien essayer avec des nombres qui rentrent dans sa calculatrice, à défaut peut-être, de savoir le pourquoi de $(p-1)\times p$ (?), par exemple avec :
$17^4-17^3-16\times 17\times 17^2$

Dernière modification par yoshi (20-03-2023 10:13:55)

A Ratomahenina · 20-03-2023 12:25:27

Bonjour

Prière de garder tes insultes pour toi .
Le nombre 2 , nombre d'or généralisé , est l'exemple le plus simple donc normal que ton élève de 4eme le comprenne .
Ton étude est un cas particulier qui reste dans le cadre de ma découverte .
M'a découverte donne naissance à une nouvelle forme de courbes exponentielles de base Phi' tel que

f(x) - f(x-1) - n×f(x-2) = 0

J'ai été aidé par le hasard mais j'ai dû faire de sérieux calculs pour le mettre en évidence . Ceci ne se déduit pas directement de x^2 - x - 1 = 0 .

A Ratomahenina · 20-03-2023 19:05:58

Re

Voici l'explication de ton équation :

3^5 - 3^4 - (2×3×3^3) = 0
3^5 - 3^4 - (2×3^4) =0
3^5 - (3×3^4) =0
3^5 - 3^5 = 0

yoshi · 20-03-2023 19:43:16

Re,

Prière de garder tes insultes pour toi

Quelles insultes ? Tête de mule ? Bin ça alors !

Sache jeune-homme que je n'ai jamais insulté personne.
Je te "chambre" de temps en temps, mais en l'occurrence, tu devrais te rendre compte... que tu as donné assez de bâtons pour te faire battre jusqu'à la fin de tes jours.

Le nombre 2 , nombre d'or généralisé , est l'exemple le plus simple

Il me semblait pourtant avoir prouvé à partir des rectangles emboîtés dont le rapport Longueur/largeur restait constant que le seul nombre d'or, baptisé $\varphi$, était $\cfrac{1+\sqrt 5}{2}$.
Non ?
J'attends encore que tu me montres que j'ai tort...

Dans l'attente, j'estime alors que la notion de "nombre d'or généralisé" n'a pas de sens, ni de réalité...

Dans ton post 1, tu prétends que ta méthode est identique à celle de Héron.
Je réponds : Faux.
1. A ma connaissance, et donc sauf erreur de ma part, la méthode de Héron ne donne pas le nombre d'or directement : elle permet le calcul de $\sqrt 5$ à très grande vitesse... (ce n'est pas ce que tu fais). A cette racine, il faut encore ajouter 1 puis diviser par 2.
En programmant ceci avec le langage Python sur ma machine :
- La "méthode de Héron" me permet d'obtenir avec ma machine, pour $\sqrt 5$ et 52 décimales demandées en 8 itérations et je dois encore ajouter 1 et diviser par 2...
- Avec la même programmation et ta "nouvelle méthode", ma machine a besoin de 119 opérations pour obtenir $\varphi$ avec 52 décimales...

Le nombre 2 , nombre d'or généralisé , est l'exemple le plus simple donc normal que ton élève de 4eme le comprenne

Non, cela résulte seulement de la bonne maîtrise des propriétés des puissances...

@+

Dernière modification par yoshi (21-03-2023 11:59:14)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 08-03-2023 14:48:00

Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#2 08-03-2023 15:37:39

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#3 11-03-2023 15:11:29

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#4 11-03-2023 23:12:33

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#5 14-03-2023 12:06:51

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#6 14-03-2023 14:01:20

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#7 15-03-2023 17:46:05

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#8 15-03-2023 20:18:59

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#9 15-03-2023 21:40:13

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#10 15-03-2023 22:48:54

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#11 16-03-2023 08:23:00

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#12 16-03-2023 10:24:13

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#13 16-03-2023 14:48:10

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#14 16-03-2023 15:17:14

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#15 17-03-2023 22:35:05

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#16 18-03-2023 16:31:12

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#17 18-03-2023 19:05:39

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#18 18-03-2023 19:27:49

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#19 18-03-2023 22:09:54

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#20 18-03-2023 22:31:34

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#21 19-03-2023 17:49:34

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#22 19-03-2023 22:42:06

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#23 20-03-2023 12:25:27

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#24 20-03-2023 19:05:58

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

#25 20-03-2023 19:43:16

Re : Nouvelle méthode de calcul du nombre d'or

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