Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lily29

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Suites

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider pour une question d'un exercice où je ne vois pas du tout vers quelle direction aller ?

Soit a un réel strictement positif. On définit la suite (Un) par récurrence de la façon suivante : U1 = 1 et pour tout n>=1, Un+1 = a^Un. On note fa : x --> a^x

On suppose que a<1. Montrer qu'il existe alpha appartenant à ]0;1[ tel que pour tout n appartenant à N*,|Un+1 - alpha|<=-ln(a)|Un - alpha|

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Suites

Bonjour,
Même si tu ne vois pas dans quelle direction aller, il faut bien remarquer qu'on a une suite dans l'énoncé. Si on n'a pas d'idée on peut donc toujours tenter d'appliquer la méthodologie sur les suites, ça peut donner des idées et ça permet de comprendre ce que fait $u_n$.
Ensuite, qui serait un bon candidat pour $\alpha$ à ton avis ?
Bonne journée

Lily29

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Re : Suites

Bonjour,

Je pense que a serait un bon candidat pour alpha.

J'ai aussi réfléchi un peu de mon côté et j'ai eu l'idée de faire l'IAF avec les valeurs absolues.

J'ai fa'(x) = ln(a)a^x

Or ln(a) est négatif donc on peut écrire que :|fa'(x)| = ln(a)a^x <= -ln(a)

J'applique l'IAF : pour tout a, b appartenant à ]0;1[ : |f(b)-f(a)| <= -ln(a) |b-a|

Ici : b=Un et a=alpha

Donc on obtient : |Un+1-f(alpha)| <= -ln(a) |Un-alpha|

J'ai juste un soucis c'est que j'obtiens f(alpha) et non alpha. Est-ce que ce raisonnement peut marcher ?

Merci d'avance pour votre réponse.

Glozi

Invité

Re : Suites

Bonjour,
Non $a$ n'est pas le bon candidat pour $\alpha$,
Sinon tu as un bon raisonnement, attention cependant au niveau de la précision :

Or ln(a) est négatif donc on peut écrire que :|fa'(x)| = ln(a)a^x <= -ln(a)

Dans la ligne ci dessus il y a une erreur, quand tu dis que $|f_a'(x)|=\ln(a)a^x$.
Ensuite il faut bien préciser pour quels $x$ est-ce que ton égalité et surtout ton inégalité sont vérifiées.

Tu obtiens $f(\alpha)$ au lieu de $\alpha$, ainsi tout serait résolu si tu pouvais choisir $\alpha$ tel que ...

NB : je te conseille sur ta copie de montrer que tu sais que par définition $a^x = e^{x\ln(a)}$ (pour bien justifier ta dérivée notamment).

Bonne journée

Lily29

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Re : Suites

Bonsoir,

J'ai re rédigé avec les modifications que vous m'avez dit de faire :

J'ai fa'(x) = ln(a)a^x

|fa'(x)| =|ln(a)a^x|

Or ln(a) est négatif donc on peut écrire que : ln(a) <= ln(a)a^x <= -ln(a) pour x>=0 et a<1

J'applique l'IAF : pour tout a, b appartenant à ]0;1[ : |f(b)-f(a)| <= -ln(a) |b-a|

Ici : b=Un et a=alpha

Donc on obtient : |Un+1-f(alpha)| <= -ln(a) |Un-alpha|

Par contre je ne vois vraiment pas comment faire pour trouver alpha, il faudrait que je trouve alpha tel que f(alpha)=alpha, mais je ne vois pas comment résoudre l'équation.

Merci d'avance pour votre réponse.

Fred

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Re : Suites

Bonjour,

  Tu peux prouver l'existence de $\alpha$ sans forcément déterminer sa valeur.
Par exemple, si tu poses $g(x)=f(x)-x,$ il suffit de démontrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $g(\alpha)=0.$
Pour cela, tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires par exemple, et comparer les signes de $g(0)$ et $g(1)$....

F.

Glozi

Invité

Re : Suites

Bonsoir,

il faudrait que je trouve alpha tel que f(alpha)=alpha,

Oui c'est exactement ça l'idée, remarque que dans ton énoncé on ne te demande pas de donner explicitement $\alpha$ mais seulement de montrer qu'il existe (il y a des théorèmes pour cela).

PS : je vois que Fred a déjà répondu !
Bonne soirée

Lily29

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Re : Suites

D'accord je vois ce qu'il faut faire merci beaucoup pour votre aide :-)