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Vincent62

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Exponentielle complexe et logarithme

Bonjour,

Je cherche à déterminer les zéros de l'application [tex]f : \mathbb{C}^{\star}\to \mathbb{C}, z\to \sin\big(\frac{\pi}{z}\big)[/tex].

Pour cela, j'utilise la formule d'Euler, et j'obtiens après calculs que [tex]e^{\frac{2i\pi}{z}}=1[/tex] pour [tex]z\in \mathbb{C}^{\star}[/tex].
Ici, est-ce que je peux directement conclure que [tex]\frac{2i\pi}{z}=2k\pi[/tex] avec [tex]k\in \mathbb{Z}[/tex] en utilisant la détermination principale du logarithme ?

Merci

Dernière modification par Vincent62 (04-02-2023 07:01:33)

Fred

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Re : Exponentielle complexe et logarithme

Bonjour,

  Je ne pense pas que ce soit la peine d'utiliser le logarithme complexe ici...
Tu écris $\frac{2i\pi}z=a+ib$ avec $a$ et $b$ des réels.
Alors $e^{\frac{2i\pi}z}=e^a e^{ib}=1.$
En prenant le module, et puisque la fonction exponentielle est injective sur $\mathbb R$, tu as $a=0$ et donc
$e^{ib}=1,$ que l'on sait résoudre depuis l'introduction de l'exponentielle complexe : cette égalité
est vérifiée si et seulement s'il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $b=2k\pi$ ce qui te donne $\frac{2\pi}z=2k\pi$ ou encore $z=1/k$
avec $k\in\mathbb Z^*.$

F.

Vincent62

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Re : Exponentielle complexe et logarithme

Bonjour Fred, et merci pour les explications !