Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

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3 dés et 18 gommettes

Hello,

  Voici un petit jeu à deux joueurs : vous disposez de 3 dés cubiques (parfaitement équilibrés et tout et tout...). Il n'y a rien sur les faces de ces dés. Vous disposez aussi de 18 gommettes, numérotées de 1 à 18. Le déroulement du jeu est le suivant :
* vous collez comme vous le voulez les 18 gommettes sur les 18 faces des 3 dés.
* votre adversaire choisit un dé
* vous choisissez un autre dé
* vous lancez les 2 dés : celui qui obtient le plus gros score a gagné.

Y-a-t-il une stratégie pour coller les gommettes pour avoir plus d'une chance sur deux de gagner????

[Transmis par quelqu'un qui le tient de "la lettre de l'inspection"]

F.

Michel Coste

Membre

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 170

Re : 3 dés et 18 gommettes

Bonjour,
Oui, il y a une stratégie

▼Texte caché

Commençons avec 9 gomettes numérotées de 1 à 9, réparties en 3 tas de 3 gomettes nommés A, B, C :
[tex]\begin{array}{ccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
B&C&A&A&B&C&C&A&B\end{array}[/tex]
Dans les matches entre deux tas, B l'emporte sur A 5 à 4, C l'emporte sur B 5 à 4 et A l'emporte sur C 5 à 4.
Pour 18 gomettes et 3 tas de 6 (les trois dés), il suffit de répéter le motif. Le dé B l'emporte sur le dé A 19 à17, idem pour le dé C sur le dé B et le dé A sur le dé C.

Glozi

Invité

Re : 3 dés et 18 gommettes

Bonjour,
Merci pour l'énigme ! Voici une proposition de solution

▼une solution

Oui il y a une telle strategie, il s'agit de construire 3 dès A,B,C dits "non transitifs". Si $D_1$ et $D_2$ sont deux dès, on dit que $D_1 >D_2$ si la proba que  $D_1$ gagne contre $D_2$ est plus grande que $1/2$ (strictement).
On veut alors A<B, B<C et C<A. Cet "ordre" sur les dés n'est en fait pas un ordre car il est non transitif !
Cf la page https://fr.m.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9s_non_transitifs pour des details sur les dés non transitifs.
Exemple de solution (provenant de la page wikipedia)
A : 1, 6, 11, 12, 13, 14
B : 2, 3, 4, 15, 16, 17
C : 5, 7, 8, 9, 10, 18
(B gagne contre A avec proba 7/12, C gagne contre B avec proba 7/12 et A gagne contre C avec proba 7/12).

Une fois que l'adversaire a choisi son dé, la strategie est de choisir notre dé qui batte le dé de l'adversaire avec proba 7/12>1/2

Bonne journée

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 146

Re : 3 dés et 18 gommettes

Bonjour,

▼ proposition

dé A : 18.17,16,15,14,13
dé B : 12,11,10,9,8,7
dé C : 6,5,4,3,2,1
Si l'adversaire choisit A, je perds à tous les coups.
Si l'adversaire choisit B, je choisis A et je gagne.
Si l'adversaire choisit C, je gagne à tous les coups.
Les choix de mon adversaire étant équiprobables, j'ai 2 chances sur 3 de gagner..

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 186

Re : 3 dés et 18 gommettes

@Zebulor : L'adversaire choisit un dé, mais il sait ce qu'il y a dessus. Donc avec ce que tu as proposé, il choisira toujours le de A.

@Glozi et Michel Coste : Bravo! Pas si évident d'imaginer que la relation "être un dé plus fort" n'est pas transitive....
Ceci peut aussi être vu comme une version "théorie des jeux" du paradoxe de Condorcet.

F.

Boody

Membre

Inscription : 31-03-2014

Messages : 183

Re : 3 dés et 18 gommettes

Bonjour Forum,

▼Pas de solution pour l'instant mais comme on a l'avantage de pouvoir choisir un des 2 dés restants, il "suffirait" de construire les 3 dés comme des

Pierre Feuille Ciseaux (un système A bat B bat C bat A.

Reste à construire le truc ...

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“il n’existe que 10 sortes de personnes, celles qui comprennent le binaire et les autres.”
Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît... (just in case : ) )