Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

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Fonction bornée

Bonjour tout le monde.
S'il vous plaît je suis bloqué sur ceci
Soit f:R ^ n-->R une fonction continue telle que lim ||x||-->+∞ f(x)=0
Montrer que f est bornée , Montrer que f atteint au moins l'une de ses bornes.

Je n'arrive pas a traduire ceci lim ||x||-->∞ f(x)=0  par les epsilons.
Je crois qu'avec la traduction je peux répondre a ces question
Merci bien

pentium mix

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Re : Fonction bornée

Aussi on n'a pas le type d'infini.

Fred

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Re : Fonction bornée

Bonjour,

  Si tu veux traduire cela avec des epsilons, alors "tout simplement" :
$$\forall\varepsilon>0,\ \exists A>0,\ \|x\|\geq A\implies |f(x)|\leq \varepsilon.$$

Comme souvent dans ce genre d'exercices, il ne faut pas utiliser ceci pour toutes les valeurs de $\varepsilon$,
mais pour une valeur bien choisie....

F.

pentium mix

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Re : Fonction bornée

Bonjour,

  Si tu veux traduire cela avec des epsilons, alors "tout simplement" :
$$\forall\varepsilon>0,\ \exists A>0,\ \|x\|\geq A\implies |f(x)|\leq \varepsilon.$$

Comme souvent dans ce genre d'exercices, il ne faut pas utiliser ceci pour toutes les valeurs de $\varepsilon$,
mais pour une valeur bien choisie....

F.

Merci bien bonjour. Pour epsilon égal a 1 cette définition montre que, autour de plus l'infini a fonction est bornée. Et autour de moins l'infini que se passe t'il??

Je suis confus.

J'ai pu résoudre le problème pour n=1 mais je n'arrive pas a generaliser

Gui82

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Re : Fonction bornée

Bonjour,

En fait, il n'y a pas de [tex]- \infty[/tex] car on est dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et on considère [tex]\|x\|[/tex] qui est positif.
Comme tu l'as dit, pour [tex]\displaystyle \varepsilon=1,\, \exists R>0[/tex] tel que [tex]\forall x \in \mathbb{R}^n,\, \|x\| \ge R \Longrightarrow |f(x)| \le 1[/tex]
Ensuite, sur [tex]\bar{B}(0,R)[/tex] tu peux voir ce qu'il se passe avec un argument simple de topologie.

pentium mix

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Re : Fonction bornée

Bonjour,

En fait, il n'y a pas de [tex]- \infty[/tex] car on est dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et on considère [tex]\|x\|[/tex] qui est positif.
Comme tu l'as dit, pour [tex]\displaystyle \varepsilon=1,\, \exists R>0[/tex] tel que [tex]\forall x \in \mathbb{R}^n,\, \|x\| \ge R \Longrightarrow |f(x)| \le 1[/tex]
Ensuite, sur [tex]\bar{B}(0,R)[/tex] tu peux voir ce qu'il se passe avec un argument simple de topologie.

Waouhhh

Merci bien.
Grand merci