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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 14-01-2023 11:24:11
- vincent-douce-lemathoscop
- Membre
- Inscription : 14-01-2023
- Messages : 1
combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
bonjour à vous sur ce forum que je découvre
j'ai migré ici en bousculant mes habitudes sur les-mathematiques.net qui plante tout le temps
ma question est la suivante, soulevée par un élève de terminale ce matin :
Les arêtes d'un tétraèdre on peut en voir :
• 6 (au zénith de la pyramide)
• 5 (représentation 2d classique d'un berlingot) (donc une est cachée derrière)
• 3 (sous la terre) (les trois obliques sont sont cachées)
prouver qu'il est impossible de trouver une position dans l'espace d'où l'on voit exactement 4 arêtes d'un trétraèdre (et donc d'où 2 soient cachées) (j'ai naïvement essayé et je ne parviens pas à en voir exactement 4 d'où ma conjecture).
Vincent
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#2 14-01-2023 15:02:25
- Wiwaxia
- Membre
- Lieu : Paris 75013
- Inscription : 21-12-2017
- Messages : 437
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
Bonjour,
On peut ne voir que quatre arêtes d'un tétraèdre à deux conditions:
a) que l'une des faces (par ex. BCD) soit dans un plan perpendiculaire au plan de projection de la figure, et
b) que le sommet occulté (ici D) se situe derrière l'arête opposée (BC) par rapport à l'observateur.
Les arêtes visibles sont alors: AB, AC, AD et BC.
Le même schéma pourrait correspondre au cas de la structure inversée, dans laquelle le sommet (D) se situerait devant le segment (BC), donc du même côté que l'observateur: on retrouverait alors 5 arêtes visibles: AB, AC, AD, BD et CD.
Dernière modification par Wiwaxia (14-01-2023 15:05:29)
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#3 14-01-2023 15:42:54
- Vinz
- Invité
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
salut et merci !
j'ai beau me creuser la tête je ne comprend pas ta réponse…
si D est derrière [BC] comment puis je voir [AD] ?
de plus "si le plan d'une face est perpendiculaire auplan de projection" : mais alors dans la projection obtenue comment un sommet pourrait il être aligné avec une quelconque arête ? puisque les plans des faces font un angle qui n'est pas pi/2
je suis désolé je n'arrive pas du tout à voir ; peux tu me donner les coordonnées de l'observateur ? en imaginant que A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,3√3,0) et D(3,√3,h) arg mais j'y pense… tu as peut être pris un tétraèdre non régulier ?
#4 14-01-2023 15:59:45
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 732
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
Bonjour !
Imagine le tétraèdre vu en perspective, juste ses 6 arêtes. En faisant tourner la figure, on peut arriver à placer D, aligné avec [BC], derrière ...
Mais là, les faces sont transparentes ...
B-m
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#5 14-01-2023 18:12:57
- Vinz
- Invité
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
mais alors dans ce cas on voit trois arêtes, puisque lesautres sont derrière
ou alors j'ai mal expliqué ma pensée : je parle d'un tétraèdre solide d'un matériau non transparent ; je pensais que c'était implicite quand j'ai parlé de la situation où on ne voit que 3 arêtes …
#6 14-01-2023 18:26:24
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 732
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
Bonsoir !
Je crois qu'il n'y a que 3 cas à envisager : 1) on voit 3 faces, donc le sommet commun des 3 faces, et donc les 6 arêtes ; 2) on ne voit que 2 faces, donc l'arête commune, et 4 autres arêtes qui complètent les 2 faces ; 3) on ne voit qu'une face, et donc les 3 arêtes qui la délimitent.
Bien sur, le tétraèdre est opaque ... et on est dehors ! (:-))
Bernard-maths
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#8 14-01-2023 22:28:21
- Vinz
- Invité
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
ok, donc il me semble que "voir exactement 4 arêtes" est impossible
je me demandais comment on pourrait attaquer la démonstration
peut être naïvement en partitionnant par le nombre de faces qu'on voit ?
- si on ne voit qu'une face il y a trois arêtes derrière
- si on voit deux faces, on voit 5 arêtes
- si on voit trois faces, on voit les 6 arêtes
je ne sais pas jusqu'à quel point c'est rigoureux… :-)
#10 15-01-2023 08:17:41
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 732
Re : combien de faces d'un tétraèdre peut-on voir
JOLI jpp !
ça c'est rigoureux ...
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