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Hamidi souk

Invité

Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,
Notre prof nous a demandé pour la séance prochaine de montrer que pour quelques soit un triangle choisi de côtés a,b et c,
a*( b +c-a) < 2bc
Depuis que j'ai revenu à la maison, je n'ai trouvé aucune idée et aucun trajet pour trouver le résultat !
Merci de m'aider svp .

Roro

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Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

Je dirai que c'est faux... puisque pour un triangle plat, on peut avoir b+c=a. Donc s'il est presque plat...

Roro.

Black Jack

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Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

Je dirai que c'est faux... puisque pour un triangle plat, on peut avoir b+c=a. Donc s'il est presque plat...

Roro.

Bonjour,

Si b+c=a, alors (b+c-a) = 0 et la relation devient 0 < 2bc ... qui est vérifiée.

Non ?

Bernard-maths

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Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour !

Si b+c=a, on aura a*(b+c-a) = 0 < bc ...

Peut-être en développant et regroupant à gauche ... ?

B-m

Roro

Membre expert

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Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

Je dirai que c'est faux... puisque pour un triangle plat, on peut avoir b+c=a. Donc s'il est presque plat...

Roro.

Bonjour,

Si b+c=a, alors (b+c-a) = 0 et la relation devient 0 < 2bc ... qui est vérifiée.

Non ?

En effet, j'ai écrit une grosse ânerie !

On peut supposer que $a=1$ (quitte à faire une homothétie). La question est donc de savoir si $f(b,c)=2bc+1-b-c$ est toujours positive lorsque $b+c\geq 1$ et $-1\leq b-c \leq 1$ (j'ai juste écrit les inégalités triangulaires).

En remarquant que $f(b,c) = \frac{1}{2}\Big( ((b+c-1)^2 +1 - (b-c)^2 \Big)$ alors on a bien le résultat...

Roro.

Dernière modification par Roro (14-01-2023 11:16:49)

Hamidi souk

Invité

Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

Je dirai que c'est faux... puisque pour un triangle plat, on peut avoir b+c=a. Donc s'il est presque plat...

Roro.

Bonjour,

Si b+c=a, alors (b+c-a) = 0 et la relation devient 0 < 2bc ... qui est vérifiée.

Non ?

En effet, j'ai écrit une grosse ânerie !

On peut supposer que $a=1$ (quitte à faire une homothétie). La question est donc de savoir si $f(b,c)=2bc+1-b-c$ est toujours positive lorsque $b+c\geq 1$ et $-1\leq b-c \leq 1$ (j'ai juste écrit les inégalités triangulaires).

En remarquant que $f(b,c) = \frac{1}{2}\Big( ((b+c-1)^2 +1 - (b-c)^2 \Big)$ alors on a bien le résultat...

Roro.

Bonjour, j'ai pas compris une seule étape ,comment as-tu trouvé que b+c>= 1 et -1<= b-c<= 1 ?
En revanche,  on doit faire quoi si a est différent de 1 ?
Merci beaucoup.

Roro

Membre expert

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Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

D'après les inégalités triangulaires, tu as $a+b\geq c$, $b+c\geq a$ et $c+a\geq b$.

Pour se ramener au cas $a=1$, tu peux diviser l'inégalité que tu souhaites par $a^2$ puis poser $\beta=b/a$ et $\gamma=c/a$.

Sinon, tu peux aussi calculer
$$\Big( (b+c)-a\Big)^2 - \Big( (b-c)^2-a^2 \Big)$$

Roro.

Dernière modification par Roro (14-01-2023 13:00:29)

Hamidi souk

Invité

Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

D'après les inégalités triangulaires, tu as $a+b\geq c$, $b+c\geq a$ et $c+a\geq b$.

Pour se ramener au cas $a=1$, tu peux diviser l'inégalité que tu souhaites par $a^2$ puis poser $\beta=b/a$ et $\gamma=c/a$.

Sinon, tu peux aussi calculer
$$\Big( (b+c)-a\Big)^2 - \Big( (b-c)^2-a^2 \Big)$$

Roro.

Bonjour Roro , merci beaucoup pour ton message, mais une petite question concernant la deuxième méthode que vous avez proposé, comment peut on démonter que
(b+c-a)^(2) -((b-c)^(2) - a^(2))>= 0 ?
Merci d'avance .

Roro

Membre expert

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Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,

D'après les inégalités triangulaires, tu as $a+b\geq c$, $b+c\geq a$ et $c+a\geq b$.

Pour se ramener au cas $a=1$, tu peux diviser l'inégalité que tu souhaites par $a^2$ puis poser $\beta=b/a$ et $\gamma=c/a$.

Sinon, tu peux aussi calculer
$$\Big( (b+c)-a\Big)^2 - \Big( (b-c)^2-a^2 \Big)$$

Roro.

Bonjour Roro , merci beaucoup pour ton message, mais une petite question concernant la deuxième méthode que vous avez proposé, comment peut on démonter que
(b+c-a)^(2) -((b-c)^(2) - a^(2))>= 0 ?
Merci d'avance .

En utilisant juste les inégalités triangulaires... comme je le dis à chaque message !

Michel Coste

Membre Expert

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Messages : 1 475

Re : Inégalité/ côtés de triangles

Bonjour,
On peut remarquer que l'inégalité à démontrer équivaut à [tex](a-b)(a-c)+bc>0[/tex]. Les inégalités triangulaires (par exemple [tex]|a-b|\leq c[/tex]) permettent de s'en sortir.