Un mathématicien dans un avion

Zebulor · 02-01-2023 18:13:09

Bonjour,

trouvé ceci :
un avion de lignes à $n$ places numérotées de 1 à $n$.
Le premier passager embarque et s'assoit au hasard. Les passagers suivants vont s'assoir à leur place sauf si celle ci est déjà prise, auquel cas ils choisissent une place au hasard.
Le dernier passager, un mathématicien distrait ayant oublié ses copies qu'il avait prévu de corriger dans l'avion, s'assoit à une place.
Pour passer le temps il se demande quelle est la probabilité pour qu'il soit assis à sa place ...

Glozi · 02-01-2023 19:00:03

Bonjour,
Je propose une réponse sans détails

▼ma réponse

Bonne journée

Zebulor · 03-01-2023 08:10:07

Bonjour,
@Glozi : réponse identique proposée dans ce livre que j'ai momentanément égaré..

Bonne journée

Bernard-maths · 03-01-2023 12:14:20

Bonjour !

Au pif : puisqu'il prend la dernière place, il est forcément dessus ! P = 1 ... ?

Ou peut-être voulez vous savoir quelle est la probabilité pour qu'une place donnée, parmi n, ne soit pas prise par les (n-1) premières personnes ?

Cogito ... ergo estis cogitant ! (demander à Yoshi ?)

Bernard-maths

Zebulor · 03-01-2023 15:15:52

Bonjour !

Bernard-maths a écrit :

Au pif : puisqu'il prend la dernière place, il est forcément dessus ! P = 1 ... ?

@Bernard : je pense qu'il s'agit de la place que ce dernier passager a réservée ..

Par ailleurs j'ai une autre énigme mais trop ressemblante à mon goût à celle que j'avais proposée sur le polygone et ses diagonales...

Bernard-maths · 03-01-2023 15:35:42

Hello ! (et non pas : et l'eau (pour le pastis, par ex))

L'énoncé pourrait être plus précis ... ?

D'un autre côté, mon BOF m'énerve avec cette "énigme" trouvée sur ... https://www.pressesante.com/category/te … ologiques/

"Seule une personne avec un QI élevé pourra résoudre ce calcul très rapidement" ! Déjà ça sent "l'arnaque" ... ?

1+4=5 ; 2+5=12 ; 3+6=21 ; 8+11= ?

La logique des matheux DOIT réagir !!!

J'attends vos commentaires ... B-m

Dernière modification par Bernard-maths (03-01-2023 18:31:20)

Zebulor · 03-01-2023 16:06:14

re,
Dans cette logique :
@Bernard : 8+11= 96 ?
$n+(n+3)=n^2+4n$ ?

Bernard-maths · 03-01-2023 17:39:26

Y e s ! B u t ...

pourquoi une formule ?

Par exemple, on peut calculer de proche en proche :

1+4=5 ; 2+5= (2+5) +5 = 12 ; 3+6 = (3+6) + 12 = 21 ; 4+7 = (4+7) + 21 = 32 ; 5+8 = (5+8) + 32 = 45 ; 6+9 = ... = 60 ; 7+10 = ... = 77 ; et 8+11 = (8+11) + 77 = 96 !

Eh bien là, on se laisse entrainer par une progression dans laquelle on insère "instinctivement" des termes manquants entre les 3ème et 4ème calcul proposé !?

Dans l'énoncé, RIEN ne laisse supposer qu'il y ait des "expressions manquantes" entre les lignes 3 et 4 !? ALOR, pourquoi ne pas continuer la séquence commencée : 8+11 = (8+11) + 21 = 40 !?

Je n'ai pas fini ...

Je reprends ici, pourquoi une formule du second degré ? (c'est plus simple , ça saute aux yeux, comme un coup de pied occulte ?)

Je prends pour voir une formule du 3ème degré ! Disons f(n) = n³ - 5 n² + 15 n - 6 (après avoir un peu cherché !). Et je teste : f(1) = 1 - 5 + 15 -6 = 5 ok ; f(2) = 8 - 20 + 30 - 6 = 12 ok ; f(3) = 27 - 45 + 45 - 6 = 21 ok ; ALORS f(8) = 512 - 320 + 120 - 6 = 306 # 96 !!!

Conclusion : pour moi l'énoncé est mal posé.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-01-2023 18:22:01)

Glozi · 03-01-2023 18:09:27

Bonjour,
Zebulor, est-ce que tu veux que je présente ma solution à ton énigme où on attend un peu pour laisser d'autres chercher ?
Bernard-maths, les additions c'est bien mais la multiplication c'est mieux ! Pour moi $a+b$ dans ton énigme est en fait défini (joliment ?) par $a"+"b := a*b+a$ (où le terme de droite est écrit avec les opérations usuelles). Ainsi $1$ et $4$ donnent $1*4+1=5$ etc... L'avantage est qu'on peut définir par exemple $7+7$ ou $3+1$ et pas seulement la "somme" de $n$ avec $n+3$ (auquel cas on retrouve la formule de Zebulor).
Bonne journée

Bernard-maths · 03-01-2023 18:20:54

Bonjour Glozi !

Revois la fin de mon message, tu me diras qu'en penser ...

B-m

Glozi · 03-01-2023 18:34:44

Oui je suis d'accord avec toi, mathématiquement le problème est mal posé, on donne une fonction de deux variables réelles (a priori) $f : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, et on donne un échantillon de trois points sur le graphe de la fonction. Cela ne permet certainement pas de trouver la fonction...
Après, dans ce genre de "devinettes" le but est souvent de trouver le calcul caché qui fait que ça marche sachant que ce calcul est "facile et joli" et faisable de tête : tout le monde n'a pas ta détermination pour trouver un polynôme du 3ème degré qui fonctionne !

Zebulor · 03-01-2023 20:00:12

Bonsoir,
@Glozi : comme disait un vieux prêtre :"il faut savoir retarder la satisfaction".
Alors attendons un peu :-) pour mieux savourer la solution

Glozi · 03-01-2023 20:30:07

Sages paroles Zebulor !
Mais je reste curieux de voir ta solution si on n'a pas la même !
Un vieux moine a dit : "plus on a de solutions, plus on rit !" ;-)
Bonne soirée

Bernard-maths · 03-01-2023 22:38:56

Et plus l'effet se recule, plus le désir s'accroît ... bonne nuit (ne nuit pas ...)

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2023 00:13:02)

yoshi · 03-01-2023 23:12:45

RE,

En fait,

Pierre Corneille a écrit :

Et le désir s'accroît quand l'effet se recule.

Il me semble qu'il y a eu une controverse : était-ce volontaire ? (Parce que cette phrase dans Polyeucte ne laisse pas de surprendre quand on la découvre).
Beaucoup avait tranché pour oui, au motif que, vu l'oiseau (si je peux me permettre) et ses frasques, ce ne pouvait donc être que voulu...
Une rebuffade d'ailleurs, l'avait conduit à écrire, pour se venger, le poème Marquise et à Brassens d'y adjoindre un codicille...

@+

Bernard-maths · 03-01-2023 23:36:22

Re,

je parle de l'effet que produira la connaissance de la solution, qui sera d'autant plus intense que l'attente aura été longue ...

B-m

PS : il y a un pb de date ; c'est marqué hier 23:36:22 ... alors qu'on est aujourd'hui !???

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2023 00:12:14)

Zebulor · 04-01-2023 00:24:42

re,
@Bernard : bonne nuit ne nuit pas à faire des maths notamment :-) en effet... par ailleurs comme ton problème est mal posé - on le trouve dans un magazine grand public ? - je me dis qu'il tolère plusieurs solutions ..

@Glozi : après moultes errements et vains essais frustrants de formalisation avec des événements, j'ai essayé de raisonner :
Pour une question de formalisation je pose que l'ordre des passagers correspond à leur numéro de place : le premier passager est à sa place s'il occupe la place 1.

- le premier passager se place n'importe où : nul ne sait s'il est à sa place.
le 2e passager arrive : soit sa place 2 est libre et il la prend parce que c'est dans l'énoncé du sujet, soit elle ne l'est pas (parce que le premier l'a prise mais alors le premier n'est pas à sa place) . Dans les deux cas la place 2 est occupée.
le 3e passager arrive : ou bien il prend la place 3, ou bien une autre place dans ce cas c'est que l'un de deux premiers passagers a pris la place 3.
etc...
jusqu'au (n-1)e passager : idem
Quand le $n-ième$ passager arrive les places 2 à n-1 sont occupées, il peut alors prendre :
- soit la place 1 dans le cas où le premier passager n'aurait pas pris sa place, soit sa propre place.
d'où une probabilité de 1/2... parce qu'il doit y avoir équiprobabilité entre la place 1 et la place $n$ ?

Le résultat ne dépendrait pas de $n$, ce qui est contre intuitif..

Finalement le vieux moine ne va pas trop rire mais va peut être bien dormir

Dernière modification par Zebulor (04-01-2023 00:29:45)

Glozi · 04-01-2023 00:55:58

Je trouve ton approche jolie Zebulor, la mienne est plus calculatoire si bien que je ne m'étais même pas rendu compte que le dernier arrivant s'asseyait soit sur la place $1$ soit sur la place $n$. Mais effectivement, il reste quand même à justifier à la fin qu'il y a équiprobabilité entre la place $1$ et la place $n$.
Si tu veux je te donne le

▼début de ma solution

Bonne nuit :)

Zebulor · 04-01-2023 07:57:55

Bonjour,
merci Glozi. Je vois que tu as veillé tard pour me répondre, à ma bonne surprise.
Intuitivement je me suis dit d'emblée qu'on doit pouvoir construire une preuve par récurrence sur $n$ comme pour le paradoxe des anniversaires..

Bernard-maths · 04-01-2023 09:03:32

Bonjour !

Moi je pense à 1/n ... ?

Bonne journée, B-m

Glozi · 04-01-2023 12:49:49

Bonjour,
Bernard-maths, ce n'est pas possible lorsque $n\geq 3$, en effet déjà il y a une probabilité de $1/n$ pour que le premier arrivant choisisse sa place. S'il a bien choisi sa place alors tous les autres feront de même, et donc on a une probabilité supérieure ou égale à $1/n$ que le dernier soit à sa place. Mais dès que $n\geq 3$ alors ce n'est pas la seule possibilité pour que le dernier ait son siège attribué (par exemple le premier choisi le siège 2 au hasard, et le deuxième choisi le siège 1 au hasard (car sa place était occupée) alors les suivants seront tous à leur place).

Ainsi cette probabilité est plus grande que $1/n$ (strictement) dès que $n\geq 3$.

Bonne journée

Bernard-maths · 04-01-2023 12:53:37

Bonjour !

Glozi, sur ta réponse je viens de relire l'énoncé avec attention (!), et je me rends compte qu'il y a des places numérotées !!!

Je vais reprendre mes calculs !

@ +

Michel Coste · 04-01-2023 15:53:23

Bonjour,
Quand le passager n°n arrive, une et exactement une des deux places 1 et n est occupée par un passager qui l'a choisie au hasard (soit le passager n°1 qui choisit au hasard, soit un des suivants entre 2 et n-1 qui a trouvé sa place occupée). Il y a donc bien équiprobabilité. Autrement dit :
Il est certain qu'il existe un unique k entre 1 et n-1 tel que passager k occupe place 1 ou place n,
et pour tout k de 1 à n-1, probabilité (passager k occupe place 1 sachant que passager k occupe place 1 ou place n) = 1/2.

Variante : sur l'ensemble de toutes les histoires possibles, il y a une involution qui échange simplement les étiquettes des places n°1 et n°n. Il y a donc autant d'histoires où le passager n°n termine à la place n que d'histoires où il termine à la place 1.

Dernière modification par Michel Coste (04-01-2023 18:05:23)

Bernard-maths · 04-01-2023 19:59:03

Bonsoir !

Bon, j'ai fait un arbre :

Si le passager 1 prend sa place 1 alors tout le monde est bien placé, donc n aussi ; P(1 prend 1) = 1/n.

Si le passager 1 prend la place n alors n est mal placé ; P(1 prend n) = 1/n.

Sinon 1 prend une place parmi (n-2). Il faut alors placer n en dernier, et les (n-2) autres sur (n-1) places laissées par 1. Deux cas se présentent ... SOIT aucun des (n-2) ne prend la place n, et donc n est bien placé ; SOIT l'un des (n-2) prend la place n ... et n est mal placé !

Dans cet arbre il y a deux cas favorables pour que n soit bien placé. Reste à faire les calculs !!!

Remarquons que la 2ème flèche verte est la cas contraire de la 2ème rouge, pour les (n-1) places ... on a vu ça y'a pas longtemps ?

Bons calculs, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2023 20:29:28)

Michel Coste · 05-01-2023 00:19:23

Dans les deux cas "n mal placé", n est en fait placé en 1, ce qui permet de faire de très très grosses économies de calcul.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-01-2023 18:13:09

Un mathématicien dans un avion

#2 02-01-2023 19:00:03

Re : Un mathématicien dans un avion

#3 03-01-2023 08:10:07

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#4 03-01-2023 12:14:20

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Re : Un mathématicien dans un avion

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Re : Un mathématicien dans un avion

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#25 05-01-2023 00:19:23

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