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FAIZE852

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remplir la grille par des nombres premiers

bonjour
Essayons de remplir les cases avec ces 16 chiffres (nombres premiers)  (4 chiffres dans chaque direction) et le montant doit être égale dans chaque direction
61-53-5-107-59-149-167-43-113-89-131-41-7-79-97-23

Glozi

Invité

Re : remplir la grille par des nombres premiers

Bonjour,

▼j'ai une question

Je suis parti sur l'hypothèse qu'il faut utiliser une seule fois chaque nombre dans le tableau.
On voit alors facilement que si la somme de chaque ligne donne le même résultat alors cette somme doit être 306 (la somme de tous les nombres divisée par 4).
Problème : Le nombre 5 doit apparaître quelque part dans le tableau. Cependant il n'y a aucune combinaison avec les nombres que tu as donné telle que $5+x+y+z=306$ avec $x,y,z$ trois nombres distincts de la liste.
(modulo erreur de codage car j'ai fait un petit script python pour le vérifier).
J'ai donc l'impression qu'il n'est pas possible de remplir un tel tableau en utilisant une seule fois chaque nombre.
Je rate quelque chose ?

Bonne journée

yoshi

Modo Ferox

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Re : remplir la grille par des nombres premiers

Bonjour,

Essayons de remplir les cases avec ces 16 chiffres (nombres premiers) 

1. Petit rappel : le chiffre est le petit dessin qui permet d'écrire les 10 premiers nombres entiers qui sont :$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Il n'existe pas d'autre chiffre en base dix ; 167 n'est pas un chiffre mais un nombre à 3 chiffres...

2. Ton carré magique comprend 16 nombres (premiers) différents, il est d'ordre 4.
Si le carré magique était "normal" (appellation contrôlée) il comprendrait les 16 premiers nombres entiers (de 1 à 16)...
Un carré magique "normal" d'ordre n comprend tous les chiffres de 1 à $n^2$ répartis sur n rangées (et donc n colonnes).
La somme des nombres de chacune des n lignes, n colonnes et des deux diagonales du carré ont la même valeur, cette valeur est appelée constante du carré.
La somme des $n^2$ premiers nombres entiers est $S=\dfrac{n^2(n^2+1)}{2}$
La constante d'un carré magique "normal" d'ordre n est donc $c=\dfrac{n^2(n^2+1)}{2n}$ soit $c=\dfrac{n(n^2+1)}{2}$...
Cela dit, je rejoins Glozi dans son interrogation...

▼Pour aller plus loin, mais c'est plus ou moins HS

Si on creuse la question des carrés magiques on entre dans un monde fascinant qui a accueilli entre autres Pascal, Fermat, Euler pour ne citer  que des mathématiciens.
Pour rester dans les carrés magiques normaux, il existe 880 carrés magiques différents.
Certains poussent la "magie" jusqu'à être  pandiagonaux : est dit pandiagonal (ou diabolique), tout carré magique "normal" d'ordre n dont la somme des nombres de chacune des diagonales brisées est aussi égale à la constante du carré.
Prenons un carré normal d'ordre 4, celui-ci par exemple :

 1  8 11 14
15 10  5  4
 6  3 16  9
12 13  2  7

Prenons la diagonale de G à D commençant par 8 :  8, 5, 9 la diagonale brisée correspondante est complétée par 12.
$c= \dfrac{4(16+1)}{2}=34$  et 8+5+9+12 = 34...
Autre diagonale brisée :
8, 15, 9, 2  (8+15+9+2= 34)
Pour trouver les diagonales brisées, placer un deuxième carré à côté du 1er selon que vous descendez de G à D ou de D à G...

Mais on peut pousser la "plaisanterie" plus loin : le carré ci-dessus est aussi "enchanté".
Dans un carré plus grand, découper une fenêtre de  2 cases x 2 cases, déplacez-la où vous voulez sur le carré présenté, par exemple
  1  8   ou encore   5   4
15 10                   16  9

1+8+15+10 = 34  et  5+4+16+9 =34...

N-B : ce n'est pas possible avec n'importe quelle dimension n.
Seuls les carrés dont n est multiple de 4 peuvent posséder les deux propriétés...
Les carrés d'ordre n impair peuvent être pandiagonaux sauf si n est impair multiple de 3...

Sur la gravure Melancolia I de Dürer (1514), en haut à droite sous la cloche, figure un carré magique normal d'ordre 4 : il n'est que partiellement enchanté...

@+

FAIZE852

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Re : remplir la grille par des nombres premiers

BONJOUR
additionne les 16 nombres le totale divisé par 4 la somme trouvé c'est celle que tu doit avoir dans chaque ligne des 4lingnes 
comme le cas de 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16=136/4=34
la solutione est la suivante et il y en à d'autre
16+5+3+10=34
4+15+1+14=34
12+9+11+2=34
7+13+6+8=34
et aussi
1+6+11+16
3+8+9+14
15+12+5+2
13+10+7+4

yoshi

Modo Ferox

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Re : remplir la grille par des nombres premiers

Bonsoir,

additionne les 16 nombres le totale divisé par 4 la somme trouvé c'est celle que tu doit avoir dans chaque ligne des 4 lingnes

Quel est l'intérêt de cette méthode ? Pourquoi me dis-tu cela ?
Tu n'as donc pas compris ce que j'ai expliqué ?
Je t'ai donné (avec sa démonstration) 23 min avant ta réponse, la formule universelle (et sa preuve) qui donne la constante de n'importe quel carré magique normal d'ordre n :
$c =\dfrac{n(n^2+1)}{2}$
Exemples :
n=3  $c=\dfrac{3(3^2+1)}{2} = \dfrac{3\times 10}{2}=\;15$
n=4  $c=\dfrac{4(4^2+1)}{2} = \dfrac{4\times 17}{2}=\;34$
n=5  $c=\dfrac{5(5^2+1)}{2} = \dfrac{5\times 26}{2}= \;65$
n=6  $c=\dfrac{6(6^2+1)}{2} = \dfrac{6\times 37}{2}= 111$
...............................
n= 123 $c=\dfrac{123(123^2+1)}{2} = \dfrac{123\times 15130}{2}= 930495$
Qui va aller s'amuser à additionner les 123 premiers nombres entiers ?
Préfères-tu essayer de trouver la somme des 1234 premiers nombres en les additionnant l'un après l'autre ou utiliser la formule donnée dans mon post précédent : $S =\dfrac{n^2(n^2+1)}{2}$ ?
Euler, alors encore enfant, donna très vite, dit-on, à son instituteur la réponse à la question posée à sa classe (il pensait probablement être tranquille un petit moment) : combien vaut la somme des 100 premiers nombres entiers.
Cette réponse était : 5050...
Euler avait découvert que la somme des n premiers nombres entiers valait $\dfrac{n(n+1)}{2}$ et a pu expliquer sa méthode à son Instituteur...
Donc, pour la somme des $n^2$ premiers nombres entiers, on calcule $: \dfrac{n^2(n^2+1)}{2}$

Tu ajoutes :

la solutione est la suivante et il y en à d'autre

Sans blague ? Bien sûr qu'il y en d'autres... Sinon, pourquoi aurais-je signalé qu'il y avait 880 carrés magiques (mais oublié de préciser) : "carrés magiques normaux d'ordre 4", mais c'était implicite en lisant bien... Je crois me rappeler qu'il existe seulement 24 carrés magiques normaux d'ordre 4, pandiagonaux et enchantés.
De plus sur les lignes, l'ordre importe : je dénombre 126 quadruplets (sauf erreur de programmation, comme dirait glozi) de 4 nombres différents pris entre 1 et 16 et qui ont 34 pour somme.

Pour l'ordre 3 : 1 seul carré magique normal,
Pour l'ordre 5 : on sait, depuis 1973, qu'il existe 275 305 224 carrés magiques normaux d'ordre 5.

Quand répondras-tu à Glozi (qui n'a pas commis d'erreur de codage) ? et non sur les carrés magiques d'ordre 4...

@+

Glozi

Invité

Re : remplir la grille par des nombres premiers

Bonsoir,
Merci pour le détour culturel très intéressant Yoshi, je n'imaginais pas qu'il y ait tant de vocabulaire autour des carrés magiques (je trouve le caractère enchanté incroyable). Par ailleurs, j'étais persuadé que l’anecdote de la somme des 100 premiers entiers était une histoire de Gauss et non d'Euler.

FAIZE852, tes exemples ne marchent pas à la verticale, par exemple $16+4+12+7=39 \neq 34$. Et sinon quid de la question du post d'origine ?

Bonne soirée

yoshi

Modo Ferox

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Re : remplir la grille par des nombres premiers

Bonjour,

@Glozi.
Tu as raison, c'était Gauss. Pfff... Comment ai-je pu me tromper ?
Euler était Suisse et ce n'était donc pas compatible...
J'avais vu aussi que verticalement ça ne marchait pas...
J'ai failli lui faire remarquer, puis je me suis dit ensuite qu'il avait dû simplement énumérer des quadruplets de nombres différents (de 1 à 16) dont la somme faisait 34 : pas bien sorcier de faire ça... Même pas besoin d'un PC avec Python (ou autre)...
Ce que je sais des carrés magiques, je l'ai appris sur le tas, grâce à un copain qui était libraire et qui dans les périodes de creux, se penchait là-dessus...

Ensuite, je n'ai fait qu'informatiser, d'abord en BASIC Locomotive (le Basic de l'Amstrad CPC 464, puis 664, puis 6128), puis en Python 2.6, puis ai converti, pour la branche 3.x, ses découvertes.
L'une, par exemple, est scotchante : les carrés "gigognes". Ca ne marche qu'avec les nombres impairs et sa construction des carrés impairs pandiagonaux (non multiples de 3).
Par exemple, il construit un carré  mettons d'ordre 35.
Cela fait, en voyant que 35 = 5 * 7 = 7 * 5, il peut matérialiser dans ce carré d'ordre 35, soit 49 petits carrés élémentaire d'ordre 5 les rendre chacun pandiagonaux, les numéroter dans l'ordre normal de 1 à 49 et se basant sur son carré de 7 pandiagonal, place les nos des carrés de 7 comme dans ce dernier carré.
Le nouveau carré d'ordre 35 ainsi obtenu est magique et pandiagonal....
Et on peut reprendre la construction de A à Z en matérialisant 25 carrés d'ordre 7. Et ce carré de 35, pandiagonal est différent du premier :
la loi de construction des carrés gigognes de mon pote n'est donc pas "commutative"...
Explication moins sommaire ici : https://www.bibmath.net/carres/index.ph … oi=impairs

@+

FAIZE852

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Re : remplir la grille par des nombres premiers

merci pour tous vos réponses

Bernard-maths

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Re : remplir la grille par des nombres premiers

Bonjour à tous !

Yoshi ! Il faut savoir se tenir à carré, sinon on pourrait se gausser ... (;-))

Moi j'en rajoute avec les triangles ... http://www.recreomath.qc.ca/dict_magique_triangle.htm

J'en ai trouvé 2 : 4                        et 5                          d'ordre 3 et 4 ...
                         3  2                        9  1
                         5  1  6                    6  4  7
                                                      3  8  2  10

mais je ne suis pas fan ...

Bernard-maths