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ggenouville

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Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

Bonsoir à tous
J'ai vu récemment un problème qui consiste à montrer que pour A une matrice réelle telle que [tex]A^n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty ]{}B[/tex], B est diagonalisable

Bon, s'il existe un entier k tel que A^k est diagonalisable, on peut conclure par unicité de la limite. Mais comment le prouver dans le cas général ? Est qu'il existe toujours un itéré diagonalisable ?

Autres idées que j'ai eu sans chercher plus à développer :
- trigonalisation dans C
- expression des itérés avec la méthode de la division euclidienne par le polynôme annulateur

Merci d'avance pour votre aide !

Fred

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Re : Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

Bonjour,

  Voici une démarche qui pourrait t'aider. Je montrerais que si la suite $(A^n)$ converge, alors $A$ est diagonalisable, en commençant par le  cas des matrices complexes qui est plus simple.
On suppose donc que $(A^n)$ converge. D'abord, que peux-tu dire des modules des valeurs propres de $A$?
Ensuite, si $A$ n'est pas diagonalisable, alors tu peux montrer qu'il existe $\lambda$ et deux vecteurs $u,v$ qui forment une famille libre tels que $Au=\lambda u$ et $Av=\lambda v+u$ (comme quand on trigonalise la matrice). Tu peux alors calculer $A^n v$ par récurrence.
Est-ce que c'est possible que $A^n v$ converge?

Peut-être qu'il y a une méthode plus simple....

F.

ggenouville

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Re : Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

Bonjour Fred

En ce qui concerne les valeurs propres de A si elle est diagonalisable, elles sont toutes de module strictement plus petit que 1 ou égales à 1.
Je ne vois pas comment cela peut être utile pour des matrices réelles.

Si A n'est pas diagonalisable, alors en reprenant vos notations, je montre que [tex]\left | \lambda \right |< 1[/tex] et que [tex]A^nv=\lambda^nv+n\lambda^{n-1}u[/tex] (ce qui exclue le cas [tex]\lambda=1[/tex]), mais j'ai du mal à comprendre en quoi une famille libre de deux éléments suffisent à montrer que c'est diagonalisable dans C...

D'ailleurs j'ai oublié de dire qu'on m'a conseillé d'utiliser une suite extraite bien choisie, c'est pour ça que j'ai présenté ce que j'ai trouvé en suivant cet axe de recherche.

Merci tout de même !

Glozi

Invité

Re : Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

Bonjour,
Je trouve l'exo sympa. Dans le cas où $A$ est diagonalisable alors on peut dire mieux que les valeurs propres sont de modules $|\lambda|\leq 1$, par exemple il n'est pas possible d'avoir une valeur propre $-1$ (essentiellement car $(-1)^n$ ne converge pas...)

Pour compléter la réponse de Fred je pense que si $A$ est nilpotente par exemple alors $A^n$ converge vers la matrice nulle. Pourtant si $A$ est non nulle alors $A$ est non diagonalisable il faut donc faire attention.

Il y a un jeu entre "la partie diagonalisable" et la "partie nilpotente" de la matrice $A$, j'utiliserais donc la décomposition de Dunford si tu l'as vu (sinon ce n'est pas très compliqué, essentiellement c'est juste bien comprendre les espaces caractéristiques, c'est une version très facile mais presque tout aussi puissante que la décomposition de Jordan). Tu peux écrire $A=D+N$ avec $D$ une matrice diagonalisable, $N$ une matrice nilpotente et $D$ et $N$ qui commutent (pour appliquer le théorème il faut voir $A$ comme une matrice à coeff complexe). De là, on peut facilement exprimer $A^n$ (attention la taille des matrices n'est pas $n\times n$ mais plutôt $m\times m$, du coup $N^m=0$).

▼Sinon une preuve plus simple en deux lignes

$A^n \to B$ donc $(A^n)^2 \to B^2$ mais cependant $2n$ est une suite extraite de $n$ donc $A^{2n}\to B$ finalement $B^2=B$ et la conclusion n'est pas bien loin...

Bonne journée

Fred

Administrateur

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Re : Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

@Glozi : Ah oui, c'est nettement plus facile en deux lignes, mais aussi nettement plus astucieux! La preuve que j'avais en tête reposait sur la forme réduite de Jordan, qui donne aussi presque immédiatement le résultat dans $\mathbb C$ tout au moins.

F.

ggenouville

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Re : Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

Bonsoir

Merci Glozi !
Waw c'est vrai que c'est joli.
A moitié frustré de ne pas avoir y pensé, et en même temps émerveillé par ce résultat. Je crois qu'on est tous passé par cet état ahah.
Une propriété particulièrement satisfaisante qui découle du fait que B²=B, c'est que toute les valeurs propres sont soit 1, soit 0.

Je connaissais en effet la réduction de Dunford.

A=N+D avec N et D à coefficients complexes. Soit k, l'ordre de nilpotence de N. Soit n>k,
[tex]A^n=\sum_{q=0}^{k-1}N^qD^{n-q}=\left ( \sum_{q=0}^{k-1}N^q \right ){D}', D'=\lim_{n\rightarrow \infty}D^n[/tex]
Et... c'est tout ce que je sais en faire
Je sais que la famille des N^q est libre donc la somme ne s'annule pas, mais c'est tout.

Glozi

Invité

Re : Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable

Bonsoir,
@Fred la méthode est "astucieuse" mais fonctionne il me semble quelque soit le corps de base (même un corps fini sur lequel on n'a pas nos outils d'analyse). Je préfère néanmoins la preuve à laquelle tu penses car j'ai beaucoup plus d'intuition avec celle là.
@ggenouville
Attention, il manque des coefficients binomiaux dans ton expression de $A^n$ ce qui permettra sûrement de continuer.
Ensuite, c'est effectivement une belle remarque $B^2=B$ donc $B$ est une matrice de projecteur (donc diagonalisable). On pourrait se demander projecteur certes, mais sur quel sous espace vectoriel parallèlement à quel sous espace vectoriel ? La réponse à cette question vient je pense avec une étude provenant de la méthode de Fred avec la réduite de Jordan ou la décomposition de Dunford.

Bonne soirée