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Vincent62

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Sous-groupe alterné

Bonjour,

On considère le groupe [tex]A_4[/tex], et on souhaite montrer que [tex]A_4[/tex] n'a pas de sous-gorupe d'ordre 6.
Pour cela, on considère [tex]V=\{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}[/tex]. On a montré que V est le seul sous-groupe d'ordre 4 de [tex]A_4[/tex] et qu'il est distingué dans [tex]A_4[/tex].
On considère maintenant V' un sous-groupe d'ordre 6 (raisonnement par l'absurde).
On montre alors que [tex]V'[/tex] est distingué dans [tex]A_4[/tex], et que [tex]V\cap V'[/tex] est d'ordre 1 ou 2.
Bon, jusque-là, ça va.

Si [tex]|V\cap V'|=2[/tex], le corrigé dit : cela signifie alors que les autres éléments de V' sont tous d'ordre 3 car V contient tous les éléments d'ordre 2. Il y a donc 4 éléments d'ordre 3 dans V'.

Je ne comprends pas. Je comprends que V contient tous les éléments d'ordre 2 de [tex]A_4[/tex].
D'autre part, [tex]|V\cap V'|=2[/tex] signifie que l'intersection contient deux éléments. Puisque V\cap V' est un sous-groupe de V et de V', alors [tex]V\cap V'[/tex] contient l'identité.
Par contre, puisque que V contient tous les éléments d'ordre 2 de [tex]A_4[/tex], comment V' peut-il partager un autre élément avec V ?
Pourquoi le fait que V contienne tous les éléments d'ordre 2 de A_4 entraîne-t-il que les éléments de V' sont d'ordre 3 ? Pourquoi 4 éléments ?

Bref, je suis perdu !

Merci pour votre aide !

Michel Coste

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Re : Sous-groupe alterné

Bonsoir,
Il n'y a pas d'élément d'ordre 6 dans [tex]\mathfrak A_4[/tex]. Donc tous les éléments de [tex]V'[/tex] sauf l'identité sont d'ordre 2 ou 3. Les éléments d'ordre 2 de [tex]V'[/tex] appartiennent aussi à [tex]V[/tex], il y en a donc un seul. Récapitulons : dans [tex]V'[/tex] il y a l'identité, un unique élément d'ordre 2, et quoi d'autre ?

Vincent62

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Re : Sous-groupe alterné

Bonjour Michel,

Tout d'abord, merci pour ton temps.
Ensuite, et pour répondre à ta question, dans V', il y a l'identité, un unique élément d'ordre 2, et 6-1-1=4 éléments d'ordre 3.

C'est juste ?