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houaoui

Invité

Fonctions troncature et partition de l’unité

Bonjour, quelqu'un peut m'expliquer comment résoudre ceci. Merci.

1) Soit U1 un voisinage de [0, 2/3], U2 un voisinage de [1/3, 1], et K ⊂]1/3, 2/3[ un
compact. Construire des fonctions ϕj ∈ K(Uj ) telles que ϕ1 + ϕ2 = 1 au voisinage de K.
2) Soit U1 un voisinage de [−4/3, 2/3], U2 un voisinage de [−2/3, 4/3], et K ⊂]−1, 1[ un
compact. Construire des fonctions ϕj ∈ K(Uj ) telles que ϕ1 + ϕ2 = 1 au voisinage de K.

Glozi

Invité

Re : Fonctions troncature et partition de l’unité

Bonsoir,
Quelle régularité est-ce que tu demandes à tes $\phi_j$ ? J'imagine que tu veux que $\phi_j$ soit à support compact dans $U_j$ (disons de classe $\mathcal{C}^\infty$).
Si tu n'as jamais vu de telles fonctions, une manière de faire est de regarder $h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telle que $h(x)=0$ si $x\leq 0$ et $h(x)=e^{-1/x^2}$ si $x>0$. Il se trouve que $h$ est une fonction $\mathcal{C}^\infty$.
Ensuite on peut regarder des fonctions de la forme $f_{a,b}(x) = h(x-a)h(b-x)$ (faire un dessin pour comprendre).
Bonne soirée