union et intersection

Vincent62 · 10-12-2022 07:06:29

Bonjour,

J'assaye de montrer que si [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux parties fermées non vides d'un espace métrique [tex]E[/tex], et que [tex]A\cup B[/tex] et [tex]A\cap B[/tex] sont connexes, alors [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont connexes.

J'essaye de le démontrer en utilisant le fait que si [tex]A[/tex] est connexe si et seulement toute fonction continue [tex]f : A\to \mathbb{Z}[/tex] est constante.

Déjà, le problème est symétrique, et il suffit donc de montrer que [tex]A[/tex] est connexe.
Soit donc [tex]f : A\to \mathbb{Z}[/tex] une application continue.

Puisque [tex]A\cup B[/tex] est connexe, alors pour tout [tex]x\in A\cup B, f(x)=f(a)\in \mathbb{Z}[/tex].
D'autre part, [tex]A\subset A\cup B[/tex], et donc pour tout [tex]x\in A, f(x)=f(a)[/tex].
C'est tout ? Ca me paraît gros quand même ! Bon c'est sûrement faux, car je n'utilise ni [tex]A\cap B[/tex], ni le fait que [tex]A[/tex] soit une partie fermée de [tex]E[/tex].

Bon, j'ai également essayé de revenir à la définition.

Supposons que [tex]A=F_1\cup F_2[/tex] avec [tex]F_1, F_2 \neq \emptyset[/tex] deux fermés de [tex]A[/tex] et tels [tex]F_1 \cap F_2 =\emptyset[/tex].
Ainsi, [tex]A\cap B=(F_1\cup F_2)\cap B=(F_1\cap B)\cup (F_2 \cap B)[/tex].
D'autre part, puisque [tex]F_1[/tex] est un fermé de [tex]A[/tex] et que [tex]A[/tex] est un fermé de [tex]E[/tex], alors [tex]F_1[/tex] est un fermé de [tex]E[/tex] et donc [tex]F_1\cap B[/tex] est un fermé de [tex]E[/tex]. De même, [tex]F_2\cap B[/tex] est un fermé de [tex]E[/tex].
Maintenant, il faudrait que je puisse montrer que [tex]F_1\cap B[/tex] et [tex]F_2 \cap B[/tex] ne sont pas vides et que leur intersection est vide.

Bon, si jamais c'est bien le cas, je peux alors dire que [tex]F_1\cap B=\emptyset[/tex] ou que [tex]F_2\cap B=\emptyset[/tex] (puisque [tex]A\cap B[/tex] est connexe dans [tex]E[/tex]).
Et par exemple, si [tex]F_1\cap B=\emptyset[/tex], alors cela entraîne que [tex]A\cap B=F_2\cap B[/tex] et donc que [tex]A=F_2[/tex] et donc que [tex]F_1=\emptyset[/tex], non ?

Merci d'avance pour votre aide ^^

bridgslam · 10-12-2022 08:22:32

Bonjour,

le souci provient de ce que partant d'une fonction continue au départ de A, rien ne dit qu'elle est continue automatiquement sur la réunion avec B, ,i même qu'elle y est définie.

A.

Dernière modification par bridgslam (10-12-2022 08:58:36)

Vincent62 · 10-12-2022 08:37:24

Bonjour bridgslam,

Oui en effet.

Bon, j'essaye de me rabbatre sur la deuxième preuve alors, que je ne n'arrive pas à boucler.

bridgslam · 10-12-2022 08:57:53

Bonjour,

Je pense qu'il faut commencer par f continue sur A\B et g continue sur B, et prendre l'application h définie sur leur réunion par recollement des 2
Si vous montrez que h est constante, A sera forcément connexe.
Idem pour B par symétrie.

A.

Dernière modification par bridgslam (10-12-2022 09:59:26)

bridgslam · 10-12-2022 10:20:10

Oui c'est l'idée,

Soit f continue de A dans {0,1} discret. Essayez de prolonger f à g définie sur A U B telle que g soit constante sur B, en vous servant de l'intersection.
Si elle est vide c'est OK, sinon en utilisant la connexité de cette intersection, ça doit marcher aussi (il faudra montrer que ce prolongement est continu ).
f étant continue et constante sur l'intersection connexe, le prolongement sera normalement continue sur la réunion (à vérifier) sur la réunion si l'extension à B\A a pour image la même constante que sur l'intersection.

"Avec les mains" :
f continue n'a pas de discontinuité au passage entre l'intersection où elle est constante par connexité et le reste dans A, si on prolonge par égalité sur B\A , ce qu'on avait sur l'intersection, tout reste sans discontinuité au final.
A.

Dernière modification par bridgslam (10-12-2022 10:33:39)

Vincent62 · 10-12-2022 10:40:31

Oui, ça semble fonctionner.
Je vais essayer de rédiger une solution, merci bridgslam.

Concernant le raisonnement en revenant à la définition de la connexité, est-ce que tu vois des erreurs dans ce que j'ai écris ?

Merci

bridgslam · 10-12-2022 10:58:40

Cela me semble correct en le lisant en diagonale, mais il faut bien préciser à chaque étape je pense, fermé dans quoi car pour tirer des conclusions, il faut prendre en compte en effet les fermés dans le sous-espace connexe envisagé pour utiliser l'hypothèse de connexité de ce sous-espace.
Par-exemple il faut remarquer que l'intersection est aussi fermée... donc on connait facilement les fermés dans cette intersection.

A.

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