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Vincent62

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Suite de compacts

Bonjour,

Je bloque sur une propriété du cours : toute suite décroissante de compacts non vides d'un espace métrique a une intersection non vide.

La preuve (par l'absurde) dit ceci : Soit [tex](K_n)[/tex] une suite décroissante de compacts, i.e. pour tout [tex]n[/tex], [tex]K_{n+1}\subset K_n[/tex], d'intersection vide.
Chaque [tex]K_n[/tex] est fermé dans [tex]K_0[/tex] et l'intersection des [tex]K_n[/tex] est par hypothèse vide.
Par conséquent, il existe un entier [tex]N[/tex] tel que [tex]\cap_{n=0}^N K_n =\emptyset[/tex], et en particulier, [tex]K_N=\emptyset[/tex].

Je ne comprends pas la dernière ligne... Je vois bien que l'on extrait une sous-famille finie de l'intersection de départ, mais pourquoi peut-on le faire ?
J'ai également remarqué que l'intersection considérée est un fermé, comme c'est un compact dans un espace métrique. Est-ce utile ?

Par ailleurs, j'aurais dit que, puisque [tex](K_n)[/tex] est décroissante, alors [tex]\cap_{n\ge 0} K_n=K_0[/tex] et si l'on suppose par l'absurde que [tex]\cap_{n\ge 0} K_n=\emptyset[/tex]. Bon, c'est sûrement faux mais je ne vois pas pourquoi.

Merci d'avance pour vos explications !

Dernière modification par Vincent62 (10-12-2022 06:51:08)

Fred

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Re : Suite de compacts

Bonjour,

  J'imagine, vue la façon dont tu rédiges la démonstration, que tu as vu auparavant que,
dans un espace métrique compact, de toute intersection vide de fermés, on peut extraire une famille finie de fermés d'intersection vide.

Ici, chaque $K_n$ est compact et contenu dans $K_0$, donc c'est un fermé de $K_0$. Si l'intersection est vide,
c'est qu'une intersection finie $\bigcap_{n=0}^N K_n=\varnothing.$
Et comme la suite est décroissante pour l'inclusion, $\bigcap_{n=0}^N K_n = K_N$ (fais un dessin si tu ne t'en rends pas compte).

F.

Vincent62

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Re : Suite de compacts

Bonjour Fred,

Merci, j'avais complètement zappé ce résultat.
Le plus difficile en topologie, je trouve, c'est l'éventail de résultats qu'il faut mémoriser pour s'y sentir à l'aise. Bref, ça demande beaucoup de pratique.