Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Jimmy5125166

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Intégralle à paramètres

Bonjour, je bloque pour conclure la question b) :

Soit [tex]F(x) = \int_{0}^{+\infty }{tx^2e^{-tx}dt}[/tex]

a) Calculer F(0) et lim_x-->0+F(x)
b) Pourtant x [tex]\rightarrow tx^2e^{-tx}[/tex]  est continue et f (·, x) est integrable pour tout x ≥ 0.
Contradiction avec le théorème de continuité d’une intégrale à paramètre

a) F(0) = 0 immédiat, pour lim_x-->0+F(x), j'ai fait une ipp sur F et je trouve F(x) = 1 indépendamment de x d'ou lim_x-->0+F(x) = 1

b) Donc F n'est pas continue, c'est qu'une des hypothèse du thm n'est pas vérifiée. Je ne vois que l’hypothèse de domination....

Merci

Glozi

Invité

Re : Intégralle à paramètres

Bonjour,
En effet, on manque de domination, notons $f(x,t)=tx^2e^{-tx}$.
Idée 1: Si on avait domination sur $[0,\infty[$ alors, les autres hypothèses étant vérifiées, par le théorème de continuité sous l'intégrale $F$ serait continue en $0$ absurde. Ce n'est à mon avis pas du tout ce qui est attendu par l'exo.
Idée 2 :
Si on avait une domination $g(t)$ telle que $\forall x\geq 0, |f(x,t)| \leq g(t)$ alors en optimisant la variable $x$ (pour chaque $t>0$ fixé) on trouve par exemple que $g(t) \geq f(1/t,t) = e^{-1}/t$ et donc $g$ n'est pas intégrable... il n'existe aucune domination intégrable et on ne peut pas appliquer le théorème (ouf pas de contradiction !)

NB : en revanche je pense qu'on a de la domination sur $x\in [a,\infty[$ avec $a>0$ ce qui montre la continuité de $F$ sur $[a,\infty[$

Bonne journée

Jimmy5125166

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Re : Intégralle à paramètres

Super, merci beaucoup!
Bonne journée.