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pentium mix

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Localisation d'un anneau

Bonsoir s'il vous plaît je voudrais montrer que si j'ai une partie multiplicative S , A et B deux idéaux d'un anneauR alors ^S-1(A:B)=(^S-1 A:^S-1 B) si B est finiment engendré

J'ai déjà montrer que ^S-1(A:B) inclut dans (^S-1 A:^S-1B)

Merci

Fred

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Re : Localisation d'un anneau

Bonjour,

  Peux-tu nous préciser les notations?

F.

pentium mix

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Re : Localisation d'un anneau

(A:B)={r€R tel que rB inclus dans A}
S^(-1)A est le localisé de A en la partie multiplicative S

Bonjour,

  Peux-tu nous préciser les notations?

F.

Glozi

Invité

Re : Localisation d'un anneau

Bonjour,
Cela fait longtemps que je n'ai pas fait d'algèbre, je pense que tu trouveras des idées dans
http://math.univ-lyon1.fr/~mathieu/Cour … ComAlg.pdf (notamment prop 3.14, et corollaire 3.15).

Je reprends la preuve donnée dans ce lien :

La première idée de la preuve est de voir $(A:B)$ comme l'idéal annulateur du $R$-module $(A+B)/A$. En effet
$Ann_R((A+B)/A) := \{x\in R, \forall y \in (A+B)/A\text{ , } xy=0\}=\{x\in R, \forall (a,b)\in A\times B\text{ , } x(a+b)\in A\} = \{x\in R,  \forall b\in B\text{ , } xb \in A\}= (A:B)$.

Ensuite l'idée est de faire une récurrence sur le nombre d'éléments qui génèrent $B$ (puisque $B$ est engendré pas un nombre fini d'éléments).

Disons qu'un $R$-module $M$ vérifie la propriété $(P)$ lorsque $S^{-1}Ann_R(M) = Ann_{S^{-1}R}(S^{-1}M)$.

Si $M$, et $N$ vérifient la propriété $(P)$ alors $M+N$ aussi (cela vient essentiellement du fait que $Ann_R(M+N) = Ann_R(M)\cap Ann_R(N)$, et du fait que $S^{-1}(M\cap N)=S^{-1}M\cap S^{-1}N$).

Ensuite il suffit de vérifier que si $M$ est un $R$ module généré par un élément, alors il vérifie $(P)$. Pour cela on dit que si $M$ est généré par un élément $x$, alors $f : R \to M, a\mapsto ax$ est un morphisme surjectif de $R$ modules (le noyau est $Ann_R(M)$), et donc $M\simeq R/Ann_R(M)$, du coup $S^{-1}M = S^{-1}R/S^{-1}Ann_R(M)$, et donc $Ann_{S^{-1}R}(S^{-1}M) = S^{-1}Ann_R(M)$, la propriété (P) est donc vérifiée par $M$ et on conclut.

J'espère ne pas avoir trop dit de bêtise(s)...

Bonne chance

pentium mix

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Re : Localisation d'un anneau

Un grand grand merci !

Dernière modification par yoshi (02-12-2022 09:30:50)