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Olivier Méndez

Invité

Une variante du lemme de recouvrement de Vitali

Bonjour,
Supposons que nous ayons une collection finie de boules fermées dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex], disons [tex] B(x_1,r_1), \cdots, B(x_n,r_n)[/tex]. Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$. Je veux montrer qu'il existe une sous-collection [tex]B(x_{i_1},r_{i_1}), \cdots, B(x_{i_k},r_{i_k})[/tex] de boules disjointes, telle que leur union  [tex]U[/tex] satisfait

[tex]4\mu(U) \geq \mu \Big(  \bigcup_{i=1}^{n} B(x_i,r_i) \Big)[/tex]

Comme vous le savez, la différence avec le lemme de recouvrement original est la constante qui apparaît. En fait, pour être honnête, mon instinct me dit que c'est faux mais je n'arrive pas a donner un contre-exemple alors peut-être que le résultat est vrai.
Ce que j'ai essayé, c'est de supposer sans perte de généralité que [tex]r_1 \geq \cdots \geq r_n[/tex] et de supprimer toutes les boules qui coupent [tex]B(x_1,r_1)[/tex]. Des boules restantes, nous regardons celle qui a le plus grand rayon, disons, [tex]r_{i_2}[/tex] et nous faisons la même chose, i.e. , nous enlevons toutes celles qui se croisent avec [tex]B(x_{i_2},r_{i_2})[/tex] et ainsi de suite.  Après un nombre fini d'étapes, on obtient une sous-collection [tex]C[/tex] de boules disjointes qui vérifie que pour tout [tex]B(x_i,r_i)[/tex] il existe [tex]B(x',r') \in C[/tex] tel que [tex]B(x_i,r_i) \cap B(x',r') \neq \emptyset[/tex]  et [tex]r_i < 2r'[/tex]. Par conséquent, si l'union de toutes les boules [tex]B(x',2r')[/tex] contient l'union de toutes les boules de notre collection original, nous avons terminé (cependant, ce n'est pas toujours le cas, comme on peut le vérifier en faisant un dessin).Quelqu’un a des suggestions ou des contre-exemples ? Merci beaucoup d'avance.

Fred

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Re : Une variante du lemme de recouvrement de Vitali

Bonjour,

  Je crois que c'est un problème très délicat, parce que le résultat vient d'un lemme de recouvrement très général qui fonctionne pour tous les espaces métriques, et là tu veux utiliser des propriétés géométriques supplémentaires parce qu'on travaille dans $R^2$.
On voit assez facilement qu'on ne peut pas faire mieux que 3 en prenant trois disques tangents de même rayon, mais 4, je ne sais pas.

La question que je me pose, c'est : pourquoi faire cela?
Dans toutes les applications que je connais du lemme de Vitali, on s'en fiche de la constante....

F.