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MadScientist

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DM de structure Algébrique

Bonjour,
Je viens vers vous car je bloque sur ce DM que m'a donné mon professeur de structure algébrique. C'est quelque chose que l'on a vue que très récemment et la deadline approche furieusement.
1)Par le theoreme de caley-Hamilton  On sait que le polynome caractéristique de [tex]m_{\alpha}[/tex] annule  [tex]m_{\alpha}[/tex] donc annule  [tex]\alpha x[/tex] en posant x=1 ce polynome caractéristique a comme racine  [tex]\alpha[/tex]. Or par minimalité du polynome minimal de [tex]\alpha[/tex], ce poynome minimal divise le polynome caractéristique.
On a egalité lorsque
2) c'est une demonstration assez classique
3) Etant donné que le polynome minimal divise le polynome caractéristique, il faut trouver les racines du polynome minimal afin de trouver certaines valeurs propres du polynome caractéristique (comme la trace est la somme des valeurs propres). Cependant je ne vois pas comment exprimé la trace en fonction de a1,...,an.
Cependant pour les autres question c'est le flous complet, donc si vous pouviez me donner des pistes pour que je puisse débuter ce DM et le finir à temps, j'apprécierais sincèrement.

https://www.cjoint.com/c/LKyjqYSlCp2

Glozi

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Re : DM de structure Algébrique

Bonsoir,
Pour la question 1) tu n'as pas écrit le cas d'égalité, il y a égalité entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique si et seulement si ils ont le même degré, or $d$ est le degré du polynôme caractéristique. Que peut on dire de $[K(\alpha): K]$ si le polynôme minimal de $\alpha$ est de degré $d$ ?
Pour la question 3) là on ne te parle absolument pas de valeurs propres, mais des coefficients du polynôme caractéristique (il est égal au polynôme minimal car son degré vaut $d$). Si $A$ est une matrice $n\times n$, il est bien connu que $\chi_A(X)= \det(XI_n-A) = X^n -\text{Tr}(A)X^{n-1}+\dots+\det(A)(-1)^n$.
Pour la question 4) il faut vraiment que tu essayes de te familiariser avec les objets manipulés la question n'est pas compliquée du tout (si tu galères dis toi que $K=\mathbb{R}$ et $L= \mathbb{C}$ pour que ça soit plus concret...)
Pour la question 5) le polynôme minimal de $\sqrt[5]{2}$ est $X^5-2$ (Eisenstein ?) le coefficient devant $X^4$ est nul etc...
Bref j'espère que ca va t'aider à rentrer dans le sujet, ça peut faire peur les corps abstraits, $K$, $L$ etc... mieux vaut toujours essayer de comprendre ce que ça veut dire sur des exemples déjà connus et maîtrisés $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ etc... Aussi il ne faut surtout pas oublier la vision de $L$ en tant que $K$ espace vectoriel de dimension $d$ (mais en plus ça reste un corps).
Bonne soirée

MadScientist

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Re : DM de structure Algébrique

Merci beaucoup,
Je suis arrivé à donner des réponses à toutes les questions mais je pense avoir plus ou moins tout compris sur cette exercice sauf pour ce qu'il en est de la question 8. Pourriez vous m'aider ? https://www.cjoint.com/c/LKBqvtZCmfF

Glozi

Invité

Re : DM de structure Algébrique

Bonjour,
Pour la 8) j'ai l'impression que tu as la bonne idée, par l'absurde $x:= \sqrt[5]{3}\in \mathbb{Q}(\alpha)$, où $\alpha = \sqrt[5]{2}$, alors $(1,\alpha,\alpha^2, \alpha^3, \alpha^4)$ est une $\mathbb{Q}$ base de $\mathbb{Q}(\alpha)$ en particulier elle est génératrice et donc on a des coefficients rationnels $(x_i)_{0\leq i\leq 4}$ tels que $x = \sum_{i=0}^4  x_i \alpha^i$.
On sait que $Tr(x\alpha^i) =0$ pour $i\in\{0,\dots,4\}$ et que $Tr(\alpha^i)=0$ pour $i\in\{1,\dots,4\}$ et que $Tr$ est $\mathbb{Q}$ linéaire. On déduit de $Tr(x)=0$ que $x_0=0$, pourquoi ? Car par $\mathbb{Q}$ linéarité et en utilisant les questions 4) et 5) on trouve $Tr(x) = \sum_{i=0}^4 x_i Tr(\alpha^i) = x_0 Tr(1) + 0= 5x_0$. Puis on déduit de même de $Tr(x\alpha)=0$ que $x_4=0$ etc... la contradiction est bien celle que tu as écrite. (peut être revoir les coefficients de ta matrice $5\times 5$ j'ai l'impression qu'il y a des erreurs, et je n'ai pas compris comment tu conclus après).
Bonne journée

maths48

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Re : DM de structure Algébrique

Bonsoir,

Je dois avouer que même avec l'indication de Glozi pour la question 3, elle ne me parle pas...
En dimension 2 par exemple, la formule donne X_A(X) = X² - Tr(A)X + det(A). Tr(A) en fonction des coefficients du polynôme caractéristique donnerait quoi ici ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : DM de structure Algébrique

Tiens ! je me disais bien que c'était étonnant que tant de personnes (deux) soient intéressées par $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$...
Le polynôme caractéristique d'une matrice à coeff dans $K$ est un polynôme a coefficients dans $K$, moi je dis juste que l'un des coefficients est la trace de la matrice (ou plutôt l'opposé de la trace...)

maths48

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Re : DM de structure Algébrique

Je l'ai ! Merci beaucoup Glozi, bonne soirée

MadScientist

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Re : DM de structure Algébrique

Bonjour,
Pour la 8) j'ai l'impression que tu as la bonne idée, par l'absurde $x:= \sqrt[5]{3}\in \mathbb{Q}(\alpha)$, où $\alpha = \sqrt[5]{2}$, alors $(1,\alpha,\alpha^2, \alpha^3, \alpha^4)$ est une $\mathbb{Q}$ base de $\mathbb{Q}(\alpha)$ en particulier elle est génératrice et donc on a des coefficients rationnels $(x_i)_{0\leq i\leq 4}$ tels que $x = \sum_{i=0}^4  x_i \alpha^i$.
On sait que $Tr(x\alpha^i) =0$ pour $i\in\{0,\dots,4\}$ et que $Tr(\alpha^i)=0$ pour $i\in\{1,\dots,4\}$ et que $Tr$ est $\mathbb{Q}$ linéaire. On déduit de $Tr(x)=0$ que $x_0=0$, pourquoi ? Car par $\mathbb{Q}$ linéarité et en utilisant les questions 4) et 5) on trouve $Tr(x) = \sum_{i=0}^4 x_i Tr(\alpha^i) = x_0 Tr(1) + 0= 5x_0$. Puis on déduit de même de $Tr(x\alpha)=0$ que $x_4=0$ etc... la contradiction est bien celle que tu as écrite. (peut être revoir les coefficients de ta matrice $5\times 5$ j'ai l'impression qu'il y a des erreurs, et je n'ai pas compris comment tu conclus après).
Bonne journée

Merci beaucoup Glozi, ça m'a beaucoup aidé pour le DM ;)