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Vincent62

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Ensemble non mesurable

Bonjour,

Je m'intéresse à l'ensemble de Vitali.
On considère la relation suivante : [tex]x=y[/tex] si et seulement si [tex]x-y \in \mathbb{Q}[/tex].
On note [tex]C_x=x+\mathbb{Q}[/tex], et [tex]G=\{C_x,x\in\mathbb{R}\}[/tex].

J'ai pu démontrer que cette relation est une relation d'équivalence, et que [tex]\mathbb{R}=\cup_{x\in \mathbb{R}}C_x[/tex].
J'ai également démontré que [tex]\forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in [0;1][/tex] tel que [tex]x=^Qy[/tex].

On considère ensuite [tex]V:=\cup_{C\in G}\{v\in [0;1]\cap C\}[/tex].
J'essaye de montrer que si [tex]q_1,q_2\in \mathbb{Q}[/tex], avec [tex]q_1\neq q_2[/tex], alors [tex](V+q_1)\cap (V+q_2)=\emptyset[/tex].

Bon, par l'absurde, je suppsose qu'il existe [tex]y\in (V+q_1)\cap (V+q_2)[/tex], et je déquortique.
On a donc que [tex]y\in V+q_1[/tex] et [tex]y\in V+q_2[/tex].
Or, [tex]y\in V+q_1[/tex] signifie qu'il existe [tex]C_1 \in G[/tex] et [tex]v_1\in [0;1]\cap C_1[/tex] tels que [tex]y=v_1+q_1[/tex].
De plus, puisque [tex]v_1\in [0;1]\cap C_1[/tex], alors [tex]v_1\in [0;1][/tex], et [tex]v_1\in C_1[/tex]. Notons [tex]C_1=C(x_1)[/tex], autrement dit [tex]x_1[/tex] est un représentant de [tex]C_1[/tex].
Alors [tex]v_1-x_1\in \mathbb{Q}[/tex].

Puis, j'ai fait la même chose lorsque [tex]y\in V+q_2[/tex]. Et ensuite je tourne en rond. J'ai bien essayé d'écrire [tex]v_1-x_1[/tex] et [tex]v_2-x_2[/tex] sous la forme (unique) [tex]\frac{a_1}{b_1}[/tex] et [tex]\frac{a_2}{b_2}[/tex], mais ce n'est pas concluant.
Est-ce que je suis sur la bonne piste ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (21-11-2022 07:28:53)

Fred

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Re : Ensemble non mesurable

Bonjour,

  Es-tu sûr de la définition de ton ensemble $V$???
Car tel qu'il est écrit, $V=[0,1]$ puisque $\bigcup_{C\in G}C=\mathbb R$.

En général, on définit plutôt $V$ en choisissant dans $[0,1]$ un représentant de chaque classe d'équivalence, ce qui n'est pas ce que tu as écrit.

(tu peux regarder cet exercice).

F.

Vincent62

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Re : Ensemble non mesurable

Merci beaucoup Fred !