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Mifdal amine

Invité

Déterminant matrice complexe

Bonjour,

Avec C une matrice de Mn(R) je dois montrer que det (In + C^2) = | det(C-i*In)|^2

Voilà ce que j'ai fait mais je ne suis pas sûr de deux lignes, est ce qu'on a vraiment |det(C -iIn)|^2 = det(C+i In)*conjugué de det(C-iIn) ?

Et est ce que conjugué de det(C+i In) = det(C- iIn) ?

Glozi

Invité

Re : Déterminant matrice complexe

Bonjour,
Je pense que tu es sur la bonne voie, il reste à se convaincre de pourquoi ce que tu avances serait vrai.

Si $z$ est un nombre complexe, on a bien $|z|^2 = z\overline{z}$. En particulier tu peux appliquer cela à $z=\det(C-iI_n)$. Tu obtiens
$|\det(C-iI_n)|^2 = \det(C-iI_n)\overline{\det(C-iI_n)}$.

Ensuite si $A\in M_n(\mathbb{C})$, je te propose de montrer que $\overline{\det(A)} = \det\left(\overline{A}\right)$, où $\overline{A}$ est la matrice dont chaque coordonnées $(i,j)$ est la conjuguée de celle de $A$ ($\overline{A}_{i,j} := \overline{A_{i,j}}$). Comment voir cela ? Je te conseille d'utiliser la formule du déterminant comme somme indéxée par les permutations de $\{1,\dots ,n\}$ et d'utiliser le fait que $z\mapsto \overline{z}$ est un morphisme de corps.

Tu obtiendras donc $\overline{\det(C-iI_n)} = \det\left(\overline{C-iI_n}\right)$. Or puisque $C$ est à coefficients réels, tu peux facilement exprimer $\overline{C-iI_n}$, puis conclure.

Bonne journée