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L.Th

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résoudre une récurrence par la méthode du répertoire

Bonjour je viens ici en dernier recours car même en appliquant la méthode du répertoire pour résoudre cette récurrence je n'arrive même pas à trouver une piste. La récurrence en question est ci-dessous:
[tex]n(U_n) = (n+1)U_{n-1}+n[/tex] pour [tex]n>=2\\ U_0=U_1=0[/tex]
Je vous remercies d'avance pour vos conseils.

Dernière modification par L.Th (11-11-2022 01:21:10)

Zebulor

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Re : résoudre une récurrence par la méthode du répertoire

Bonjour,
j"écrirais bien les premiers termes mais en partant plutôt de cette forme :
[tex]U_n=\frac {n+1}{n}U_{n-1}+1[/tex]
pour [tex]n>=2\\ U_0=U_1=0[/tex]
De sorte que tu as :
[tex]U_2=\frac {3}{2}U_{1}+1=1[/tex]
[tex]U_3=\frac {4}{3}U_{2}+1=\frac {4}{3}+1[/tex]
[tex]U_4=\frac {5}{4}U_{3}+1=\frac {5}{4}*\frac {4}{3}+\frac {5}{4}+1[/tex]
[tex]U_5=\frac {6}{5}U_{4}+1=\frac {6}{5}*\frac {5}{4}*\frac {4}{3}+\frac {6}{5}\frac {5}{4}+\frac {6}{5}+1[/tex]

Et en simplifiant :
[tex]U_5=\frac {6}{5}U_{4}+1=\frac {6}{3}+\frac {6}{4}+\frac {6}{5}+1[/tex]
[tex]U_6=\frac {7}{6}U_{4}+1=\frac {7}{3}+\frac {7}{4}+\frac {7}{5}+\frac {7}{6}+1[/tex]..

De là une formule générale pour $U_n$ est possible si c'est ce que tu recherches...

PS : En lisant ci dessous bridgslam, je pouvais encore divisier par n+1 de sorte que  :
[tex]\frac {U_n}{n+1}=\frac {U_{n-1}}{n}+\frac {1}{n+1}[/tex], d'où son emploi astucieux d'une suite auxiliaire..

Dernière modification par Zebulor (13-11-2022 09:39:22)

bridgslam

Membre Expert

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Re : résoudre une récurrence par la méthode du répertoire

Bonjour,

pour $n \ge 1$ en posant $v_n =u_{n-1}/n$ on a la formule de récurrence plus simple $v_{n+1} = v_n + \frac {1}{n+1}$.
On en déduit immédiatement une relation simple vu que $u_n = (n+1)v_{n+1}$.

On retombe aisément sur l'expression de Zebulor.

A.