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byron

Invité

polynome du second degre [Résolu]

Bonjour

je suis entrain de faire un exercice sur les fonctions du second degre

et je dois determiner l expression d une fonction a partir des racines de cette fonction
et les coordonnees d un point de la forme f(x)=x

est ce que quelqu un pourrait m expliquer la methode
je vous remercie d avance

yoshi

Modo Ferox

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Bonsoir Byron

Et Bienvenue sur BibMaths...
Le plus simple serait de nous donner ton énoncé (et de nous dire ce que tu as déjà fait).
Comme ça, "à l'aveuglette", je dirais f(x)=ax²+bx+c.
Solutions x1 et x2, d'où [tex]ax_1^2+bx_1+c=0\;et\;ax_2^2+bx_2+c=0[/tex]
et encore pour 2e question, résoudre :
[tex]ax^2+bx+c=x[/tex]

Comme tu le vois, hélas, à question vague réponse vague !

@+

byron

Invité

Re : polynome du second degre [Résolu]

me revoila

voila l enonce
la premiere question etait d associer chaque courbe a une fonction dont on donne le discriminant si il est positif negatif ou nulle
cette question n a pas poser de probleme

la deuxieme question est la suivante
-1 et 3 sont les racines de f et f(1)=-4
déterminer l expression de f(x)
c donc determiner a b et c

merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Re,

Et bin voilà, c'est quand même plus clair comme ça !
Surtout que ta 2e question n'en était pas une et faisait partie intégrante la première.
Pour le reste, c'est bien ce que j'avais pressenti.
Les racines de f sont telles que f(racine)=0
D'où avec f(x)=ax²+bx+c
et racine -1 :
[tex]f(-1)=a\times(-1)^2+b\times(-1)+c=0[/tex]

racine 3 :
[tex]f(3)=a\times 3^2+b\times 3+c=0[/tex]

et enfin avec f(1)=-4:
[tex]f(1)=a\times 1^2+b\times 1+c=-4[/tex]

Je récapitule : tu dois donc résoudre le système de 3 équations à 3 inconnues (qui sont a, b et c) suivant :
[tex]\left{a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\a+b+c=-4[/tex]

Maintenant, y a qu'à...

@+

byron

Invité

Re : polynome du second degre [Résolu]

merci

une autre question les equations a trois inconnu se resout sur le meme principe qu une equation a deux inconnu

yoshi

Modo Ferox

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Re,

Oui et non...
Il y a une méthode, "savante", nommée méthode du pivot de Gauss.
Sinon, tu cherches à te ramener à un système de 2 équations à 2 inconnues.
Ici, il faut remarquer que :

[tex]\left{ a-b+c=0\\a+b+c=-4[/tex]
Dans les deux lignes, on a : a+c... De la 1ere ligne on tire a+c = b qu'on remplace dans l'autre ;  d'où on tire b = -2... Tu n'as donc plus que 2 inconnues a et c...

@+

NonooStar

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Euh...

C'est pas plus simple d'écrire la factorisation de [tex]f(x)[/tex] ??

[tex]f(x) = a(x+1)(x-3)[/tex]
d'où [tex]f(x) = ax^2-2ax-3a[/tex].

Comme [tex]f(1)=-4a=-1[/tex], on a [tex]a=1[/tex] et donc [tex]b=-2[/tex] et [tex]c=-3[/tex].
Ça permet d'éviter la résolution d'un système d'équation.

yoshi

Modo Ferox

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Bonjour,

Tout à fait vrai !
Mais j'appelle ça "passer à travers les gouttes"...
Je suis en effet absolument persuadé que cet exercice s'inscrit dans le cadre de l'apprentissage de la méthode (je peux me tromper : Byron nous dira laquelle était attendue) plus générale qui sera "abondamment" utilisée par la suite !

Et que donc, il ne peut faire l'économie de cet apprentissage, même s'il est très intéressant qu'il voie que réfléchir et prendre du recul permet (souvent) d'économiser du travail...

@+

Barbichu

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Salut,
pour le coup je ne suis pas d'accord avec toi yoshi. Certes, il faut savoir appliquer la méthode du pivot de Gauss. Mais de la même façon qu'il faut savoir abréger lorsque le système a une forme particulière, il faut savoir exploiter toutes les connaissances dont on dispose. Notamment, quand il s'agit de polynômes, on sait que toute racine µ du polynôme permet de factoriser celui-ci par X-µ et prendre l'habitude de l'utiliser est aussi quelque chose qu'il faut apprendre.

Ensuite tout dépend du niveau. Peut-être que son prof te donnera raison yoshi. Mais s'il a déjà vu la factorisation d'un polynôme de degré 2, ce serait gâcher que de ne pas l'exploiter. :(

Cordialement
++

Dernière modification par Barbichu (20-12-2007 14:55:48)

yoshi

Modo Ferox

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Bonjour,

Explication de textes nécessaire, donc...

Ai-je écrit en réponse à Nonoostar : << Tout à fait vrai ! >> ? Réponse oui... Il est tout à fait vrai que :

C'est (...) plus simple d'écrire la factorisation de  f(x)

Ai-je dit qu'il ne fallait pas utiliser cette méthode ? Non ! J'ai dit

...même s'il est très intéressant qu'il voie que réfléchir et prendre du recul permet (souvent) d'économiser du travail...

Donc, je vous rejoins tous les deux...

Si j'ai utilisé l'expression "passer à travers les gouttes", c'était en référence au présupposé (peut-être erroné : je ne peux savoir ce que Byron a déjà fait et dans quelle continuité s'inscrit cet exercice) que la méthode attendue était celle du système, a fortiori en examinant le système obtenu. J'ai, avec mon expérience, essayé de porter un jugement de l'intérieur.

Ceci dit, personnellement, comme élève et comme "homme de l'art", j'ai toujours aimé passer à travers les gouttes : rien de plus jouïssif... ! Seulement, je me suis souvent rendu compte que ça ne plaisait pas toujours à tout le monde et c'est là un euphémisme.
D'accord cependant, ce n'est pas non plus une CNS pour ne pas le faire...

L'avenir dira la méthode attendue... Je ferai amende honorable si j'ai mal jugé.
Let's wait and see ...

@+

Barbichu

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Re,
Du calme, il n'y a pas mort d'homme.

Il ne s'agit pas d'avoir tort ou raison, mais d'être d'accord ou non (ce qui est nettement moins absolu). Et je n'étais simplement pas d'accord avec le "passer à travers les gouttes" (je n'ai peut-être pas bien précisé) car il me semble justement que c'était le but de l'exo que d'utiliser le fait qu'on avait un polynôme du second degré dont on connait les racines, ce qui me semble d'autant plus vrai maintenant que je regarde la question initiale.

++

Dernière modification par Barbichu (20-12-2007 15:41:17)

Barbichu

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Re : polynome du second degre [Résolu]

D'ailleurs si jamais j'ai raison, la méthode que demande Byron dans son premier post n'a pas été décrite.
Donc au cas où, je me lance.

Quand on a une fonction polynômiale f de degré 2, dont on connait deux racines distinctes notées u et v, ainsi que la valeur f(w) pour un certain w différent de u et v.
1/ Comme on connait les racines de f, on sait que f(x) se factorise en a(x-u)(x-v), où a est la seule inconnue.
2/ Comme on connait w et f(w) (avec w différent de u et v), on obtient f(w) = a(w-u)(w-v) ou encore [tex]a = \frac{f(w)}{(w-u)(w-v)}[/tex] (car w différent de u et v).

On conclut [tex]f(x) = \frac{f(w)}{(w-u)(w-v)}(x-u)(x-v)[/tex] que tu peux éventuellement développer

++

yoshi

Modo Ferox

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Re : polynome du second degre [Résolu]

Eh bien, on dirait que Lord Byron se soit noyé dans sa littérature et/ou ait eu autre chose à faire que revenir bous donner la méthode utilisée par son Prof.
Tant pis !

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