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Jotab

Invité

Est-ce que c'est une fonction continue par morceaux ?

Soit [tex]f:x\to 1_{x\neq0}[/tex], la fonction qui à [tex]x[/tex] associe [tex]1[/tex] si [tex]x\neq 0[/tex] sinon [tex]0[/tex].

Je voulais savoir, est-ce que la fonction [tex]f[/tex] est continue par morceaux sur [tex]\mathbb R^+[/tex] ?

C'est une question bizarre que je me pose.

Glozi

Invité

Re : Est-ce que c'est une fonction continue par morceaux ?

Bonsoir,
Oui, c'est une fonction continue par morceaux. Habituellement, on définit uniquement la notion de fonctions continues par morceaux pour des fonctions définies sur un segment $[a,b]$. Cependant, cette définition s'étend à un intervalle $I$ quelconque de $\mathbb{R}$ (dans ton cas $\mathbb{R}^+$) en disant que $f : I \to \mathbb{R}$ est continue par morceaux si et seulement si sa restriction à tout segment de $I$ est continue par morceaux.
Dans ton cas, retour à la définition :
Soit $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}^+$. Ou bien il ne contient pas $0$, alors $f$ est continue sur $[a,b]$ (car constante égale à $1$) donc continue par morceaux. Ou bien $0$ est dans $[a,b]$, dans ce cas, $a=0$. La subdivision $x_0=0,x_1=b$ convient : $f$ est continue sur $]0,b[$ (car constante) et admet bien des limites à gauche et à droite de cet intervalle (les limites valent $1$).
Bonne soirée