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Abirmdr

Invité

Points d'inflexions et bijection réciproque

Salut tout le monde,
Supposons que f réalise une bijection d'un intervalle I vers J , supposons que f a une seule point d'inflexion , par exemple A(a,f(a)) , quesqu'on peut dire sur les points d'inflexion de f-1 ,la bijection réciproque, est ce qu'il aura le même nombre de points d'inflexions , est ce qu'on peut savoir leurs coordonnées ?
Merciii.

Roro

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Re : Points d'inflexions et bijection réciproque

Bonsoir,

Pour répondre à ces questions, je trouverai un lien entre les dérivées secondes de $f$ et celles de sa réciproque $g=f^{-1}$.

Puisque $g(f(x))=x$, tu peux écrire (en supposant que tout est dérivable...) :

$$g'(f(x)) f'(x) =1$$

$$g''(f(x)) f'(x)^2 + g'(f(x)) f''(x) = 0$$

Avec ces relations, tu dois pouvoir dire pas mal de choses...

Roro.

Dernière modification par Roro (06-11-2022 18:04:36)

Glozi

Invité

Re : Points d'inflexions et bijection réciproque

Bonjour, pour faire simple supposons que $f$ soit de classe $\mathcal{C}^2$ sur le segment $I$. Soit $y_0\in J$, supposons que $f'(f^{-1}(y_0))\neq 0$ alors $f^{-1}$ est dérivable au voisinage de $y_0$. Pour $y$ dans ce voisinage, alors : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.

Tu peux constater que cette expression montre que $(f^{-1})'$ est dérivable sur ce petit voisinage de $y_0$ et obtenir une expression de la dérivée seconde de $f^{-1}$. Puis il faut étudier son signe.

Cependant la méthode ci dessus ne suffit pas totalement à conclure : il faut traiter proprement le cas où $f'$ s'annule, (par exemple $x\mapsto x^3$).
Mais même dans ce cas, $f^{-1}$ admettra un point d'inflexion, cependant la tangente à la courbe de $f^{-1}$ en ce point sera verticale.

Une manière plus géométrique de voir le problème est de dire que les points d'inflexions de $f$ sont les points de la courbe de $f$ où la courbe de $f$ "traverse" la tangente à la courbe en ce point. Puisque la courbe de $f^{-1}$ est simplement une symétrie de la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=x$, alors le résultat vient tout seul.

PS: je vois que Roro m'a devancé :)

Bonne journée