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Zerhouni

Invité

Fermeture et adhérence d’un convexe

Bonjour, je ne comprend pas du tout le corrigé de la deuxième partie de cet exercice (la partie ou il faut démontrer que l'intérieur d'une partie convexe est convexe). Si quelqu'un pourrais m'expliquer ce serait cool.

PS : Dans la première phrase du corrigé il y a une erreur, c'est :"Prouvons maintenant le résultat concernant l'intérieur.

Fred

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Re : Fermeture et adhérence d’un convexe

Bonjour,

  As-tu pensé à faire un dessin pour comprendre la démonstration?

F.

Zerhouni

Invité

Re : Fermeture et adhérence d’un convexe

Bonjour,

  As-tu pensé à faire un dessin pour comprendre la démonstration?

F.

Oui j'ai esssayé mais en fait je ne comprend pas trop comment une homotéthie peut modifier une boule. Done je ne sais pas trop quoi dessiner.

Fred

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Re : Fermeture et adhérence d’un convexe

Re-

  D'abord tu dessines une patate convexe pour représenter $C$, puis deux points $x$ et $y$ à l'intérieur de $C$, puis un point $z$
sur le segment $]x,y[$, par exemple (mais c'est juste pour le dessin, choisis le milieu de $]x,y[$). Ensuite, tu dessines une boule de centre $y$ et qui est complètement contenue dans $C$ (puisque $y$ est dans l'intérieur de $C$).
L'homothétie de centre $x$ et de rapport $1/2$ envoie $y$ sur $z$ (si tu as choisis $z$ au milieu de $]x,y[$).
Ta boule centrée en $y$, par cette homothétie, va être envoyée sur la boule de centre $z$ et de rayon la moitié du rayon initial,
puisque une homothétie de rapport 1/2 multiplie les distances par 1/2.

Le but du jeu, c'est de démontrer que cette dernière boule est complètement contenue dans $C$, et c'est ce qui est fait à la fin du corrigé.

F.

Zerhouni

Invité

Re : Fermeture et adhérence d’un convexe

Re-

  D'abord tu dessines une patate convexe pour représenter $C$, puis deux points $x$ et $y$ à l'intérieur de $C$, puis un point $z$
sur le segment $]x,y[$, par exemple (mais c'est juste pour le dessin, choisis le milieu de $]x,y[$). Ensuite, tu dessines une boule de centre $y$ et qui est complètement contenue dans $C$ (puisque $y$ est dans l'intérieur de $C$).
L'homothétie de centre $x$ et de rapport $1/2$ envoie $y$ sur $z$ (si tu as choisis $z$ au milieu de $]x,y[$).
Ta boule centrée en $y$, par cette homothétie, va être envoyée sur la boule de centre $z$ et de rayon la moitié du rayon initial,
puisque une homothétie de rapport 1/2 multiplie les distances par 1/2.

Le but du jeu, c'est de démontrer que cette dernière boule est complètement contenue dans $C$, et c'est ce qui est fait à la fin du corrigé.

F.

Merci je comprends mieux maintenant, cependant je ne comprends pas la conclusion de la demonstration (ce qui est en jaune sur la photo en dessous). En effet sur mon dessin je peux choisir de placer $x$ et $y$ de sorte que $w$ ne se trouve pas sur le segment $[x,y]$ et de plus je ne vois pas en quoi prouver que $B(z, λδ) ⊂ C$, prouve que $z ∈ C rond$.

Fred

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Re : Fermeture et adhérence d’un convexe

Re-

  Attention! il est dit que w est sur le segment [x,u], et non sur le segment [x,y].....
Pour ta dernière question, je crois que tu peux y répondre toi-même : que signifie que $z$ est dans l'intérieur de $C$????

F.