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Moonspeech

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Submersion

Bonjour à tous !

Voici mon poblème :

On considère l'application $F : M_{n,k}(\mathbb{R}) \to Sym_{k}(\mathbb{R})$
                                           $ A \mapsto A^{t}A$

Il faut montrer que F est une submersion.

Soit $A \in M_{n,k}$ j'ai montré que la différentielle en A de F est $d_{A}F : H \mapsto A^{t}H + H^{t}A$

A partir de là je ne sais pas trop comment montrer que ma différentielle est surjective. J'ai essayé de voir si je pouvais trouver un antécédent facilement mais je ne vois pas comment. Aussi, en indication on me donne qu'on pourra montrer et utiliser le fait que $rg(A) = rg(A^{t}A)$.

Merci d'avance pour votre aide !

Glozi

Invité

Re : Submersion

Bonjour

Attention, pour la transposée d'une matrice la convention veut qu'on écrive $A^T$ ou alors ${}^tA$ on ne mélange pas les deux.

Ensuite quid de $A=0$ par exemple ? $d_A F = 0$ n'a pas l'air bien surjective.

J'imagine que tu es dans le cas où $n\geq k$ et où $rg(A)=k$ de sorte que $A^TA$ est inversible (de taille $k\times k$) (pourquoi ?)

Indice 1:
Essaye le cas particulier $n=k$ et $A=I_n$.

Indice 2:
Essaye de tester $d_A F$ sur $H= AH_0$ avec $H_0 \in M_{k,k}(\mathbb{R})$, et d'utiliser $A^TA$ inversible.

Bonne chance

Moonspeech

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Re : Submersion

Bonjour Glozi,

Je sais pour la notation de la transposée mais je ne sais pas comment on fait en Latex :'(

Merci pour les indications, je vais y réfléchir.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Submersion

Bonsoir,

Je sais pour la notation de la transposée mais je ne sais pas comment on fait en Latex :'(

Comme ça : $\mathrm{^tA}$ ? Code : \mathrm{^tA}

@+

Moonspeech

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Re : Submersion

Bonsoir Yoshi,

Merci pour le code !