Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Yasmina19

Membre

Inscription : 02-10-2022

Messages : 19

Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour,
Pour étudier la convergence uniforme de cette suite fn = x*sqrt(x)/(1+n*x^2)
Déjà j’ai trouvé la convergence simple, elle tend vers 0. Mais du coup je veux le sup de fn, je veux dériver mais je bloque pour la simplification de la dériver car après je veux trouver sa racine pour avoir le sup.
Merci de votre aide

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour,
et pour mieux t'aider .. une tite question simple : qu'as tu trouvé ?

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour,

Après simplification, on devrait avoir [tex]\displaystyle f_n'(x)=\frac{\frac{\sqrt x}{2}\left(3-nx^2\right)}{\left(1+nx^2\right)^2}[/tex] donc tu peux facilement trouver les zéros et le signe entre les zéros.

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 185

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour Yasmina,

Si je peux te donner un conseil : observe bien une expression mathématique avant de te lancer dans tes calculs (ici, vraiment pénible). Plutôt que de recourir à des calculs fastidieux de la dérivée de $f$, il te suffit de remarquer que :
\begin{equation*}
\forall x \geq 0, \quad f_n(x) = \frac{x \sqrt{x}}{1 + nx^2} \leq \frac{x \sqrt{x}}{nx^2} = \frac{1}{n \sqrt{x}}
\end{equation*}
ce qui te permet de majorer la fonction pour $x \geq 1$. D'autre part,
\begin{equation*}
\forall 1 \geq x \geq 0, \quad f_n(x) = \frac{x \sqrt{x}}{1 + nx^2} \leq \frac{x}{1 + nx^2}
\end{equation*}
Tu n'a plus qu'à étudier le comportement entre $0$ et $1$ de la fonction $g$ bien plus agréable à l'oeil, définie par
\begin{equation*}
g(x) = \frac{x}{1 + nx^2}
\end{equation*}

E.

Yasmina19

Membre

Inscription : 02-10-2022

Messages : 19

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour,
J’ai compris merci je peux travailler par majoration, je peux toujours majorer par votre fonction malgré le sqrt(n) en numérateur au lieu du sqrt(x), et j’ai pas trop compris comment vous passez à 1/n*sqrt(x)
Merci

Dernière modification par Yasmina19 (15-10-2022 10:38:01)

Yasmina19

Membre

Inscription : 02-10-2022

Messages : 19

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Re, je signale juste que j’ai fais une erreur de frappe fn(x)= (x*sqrt(n))/(1+n*x^2)
Et pour la dérivée j’ai en numérateur : (sqrt(n))*(1+n*x^2)-(x*sqrt(n))*(2x*n)

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour,

Ça se simplifie en [tex]\sqrt{n}(1-nx^2)[/tex], ce qui doit te permettre de faire l'étude des variations de [tex]f_n[/tex]

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 185

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonjour à tous,

Re, je signale juste que j’ai fais une erreur de frappe fn(x)= (x*sqrt(n))/(1+n*x^2)
Et pour la dérivée j’ai en numérateur : (sqrt(n))*(1+n*x^2)-(x*sqrt(n))*(2x*n)

Dans ce cas, , tu as la majoration
\begin{equation}
\forall x \geq 1, \qquad f_n(x) = \frac{x \sqrt{n}}{1 + nx^2} \leq \frac{x \sqrt{n}}{nx^2} = \frac{1}{\sqrt{n}x}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}
\end{equation}

On passe de l'écriture $\frac{x\sqrt{x}}{nx^2}$ à à l'écriture $\frac{1}{n\sqrt{x}}$ en remarquant que pour tout $x > 0$
\begin{equation}
\frac{x\sqrt{x}}{nx^2} = \frac{\sqrt{x} \sqrt{x} \sqrt{x}}{n\sqrt{x} \sqrt{x} \sqrt{x}\sqrt{x}}
\end{equation}
E.

Dernière modification par Eust_4che (15-10-2022 11:36:53)

Yasmina19

Membre

Inscription : 02-10-2022

Messages : 19

Re : Dérivée d’une suite de fonction

Bonsoir,
Merci c’est plus clair

bonne soirée