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Moonspeech

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Un sous-groupe inclu dans le centre

Bonjour à tous !

J'ai un nouveau petit problème sur les groupes à vous proposer :

Soit $G$ un groupe fini. Soit $H$  un sous-groupe distingué de $G$ d'ordre $p$, le plus petit nombre premier divisant l'ordre de $G$. Il s'agit de montrer que $H \subset Z(G)$. Où $Z(G)$ désigne le centre de $G$

Voici donc mon travail. On considère d'abord l'action
$\phi : G \times H \to H$
    $(g, h) \mapsto ghg^-1$

Cette action est bien définie car $H$ est distingué.

La formule des classes donne alors : $|H| = |H^G| + \sum_{h \in S} |orb(h)|$
où $S$ est un système de représentants pour l'ensemble des orbites non réduites à un point et $H^G$ est l'ensemble des points fixes de $H$ pour cette action.

On remarque que $H^G = H \cap Z(G)$ Il s'agit d'un sous-groupe de $H$ donc son cardinal divise $p$, c'est-à-dire $|H^G| = 1$ ou $p$

Si $|H^G| = p$ alors c'est gagné, on a bien $H \subset Z(G)$

Du coup on suppose par l'absurde que $|H^G| = 1$

La formule des classes devient alors $p = 1 + \sum_{h \in S} |orb(h)|$

A partir de là je ne sais pas comment faut-il raisonner sur les orbites pour en déduire une contradiction.

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par Moonspeech (11-10-2022 09:25:22)

Glozi

Invité

Re : Un sous-groupe inclu dans le centre

Salut,

Petit rappel : si un groupe fini $G$ agit sur un ensemble $X$ Alors si $x\in X$, l'orbite de $x$ (notée $Gx$) sous cette action a son cardinal qui divise |G|. (si tu ne sais pas pourquoi alors exercice ! indice : regarder $f : G \to Gx, g \mapsto gx$ et essayer de resoudre le defaut d'injectivité)

Après il faut utiliser que $p$ est le plus petit diviseur premier.

Bonne journée

Moonspeech

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Re : Un sous-groupe inclu dans le centre

Bonjour Glozi,

Effectivement, dans mon cours j'ai vu que $f$ induisait une bijection entre $G/stab(x)$ et $Orb(x)$. Si G est fini, alors on a la relation orbite-stabilisateur qui donne $|G| = |orb(x)||stab(x)|$ car $|orb(x)| = |G/stab(x)|$ et donc $|orb(x)|$ divise $|G|$.

Donc dans mon problème, j'ai $p = 1 +$ "une somme de diviseurs de $|G|$". Mais je suppose qu'il faut que je dise quelque chose sur |S| non ?

Glozi

Invité

Re : Un sous-groupe inclu dans le centre

Je pense que $|S|\geq 1$ sinon $p=1$... Sinon plutôt que de dire qu'il y a beaucoup de termes dans la somme, je dirais plutôt que chacun des termes de la somme est un peu trop gros. (quelle tête à un diviseur de $|G|$ ?)

MoonspeechPasConnecté

Invité

Re : Un sous-groupe inclu dans le centre

Oui, c’est bon je l’ai. La décomposition en facteur premier  d’un diviseur de |G| contient des nombres premiers plus grands ou égaux à p. Et on conclut…

Merci encore pour l’aide

Bonne journée :)