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taib

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Densité dans [0,1]

Bonjour tout le monde,
Je veux démontrer que $[0,1]\cap \mathbb{Q}$ est dense dans $[0,1]$ en utilisant la définition de la densité : Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que $A$ est dense dans $\mathbb{R}$ si $A$ rencontre tout intervalle ouvert $]a,b[$ avec $a<b$.
Malheureusement, je suis bloqué. Quelqu'un peut m'aider SVP.
Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Densité dans [0,1]

Bonjour,

Posons $A=[0,1]\cap \mathbb{Q}$. Montrons que $A$ dense dans $[0,1]$. On se donne $0\leq a < b \leq 1$, arbitraires. Le but est de montrer que $A\cap]a,b[\neq \emptyset$. Pour cela l'idée est de faire des "petits pas". Donne toi un $q\in \mathbb{N}^*$ assez grand. Tu vas regarder $1/q$, $2/q$, etc... En choisissant $q$ assez grand (typiquement $q>1/(b-a)$ alors tu vas trouver un $p\in \mathbb{N}$ tq $p/q\in ]a,b[$ par ailleurs $p/q\in A$ ce qui permet de conclure. Je te laisse essayer de rédiger une preuve rigoureuse.

Bonne journée.