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maths48

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topologie, intérieur, adhérence

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé :
https://www.cjoint.com/c/LJjgOQ0rsIF

Voici ce que j'ai fait :
https://www.cjoint.com/c/LJjg3BgwygF
https://www.cjoint.com/c/LJjhe5AgGZF
https://www.cjoint.com/c/LJjhgvF5EYF
Qu'en pensez-vous ?

Pour la question 4, j'ai itéré les deux applications et j'ai effectivement trouvé les 7parties distinctes dont il est question (numérotées à côté):
https://www.cjoint.com/c/LJjg05yjNBF
Je ne vois cependant pas comment montrer que c'est 7 parties au plus...

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : topologie, intérieur, adhérence

Bonjour,

Pour montrer qu'il y a 7 parties au plus je te conseille de montrer la propriété suivante (pourquoi est-ce que cela suffit ? ) :
$$\forall A, \overline{\mathring{\overline{\mathring{A}}}}=\overline{\mathring{A}} \text{ et } \mathring{\overline{\mathring{\overline{A}}}} = \mathring{\overline{A}}.$$

La preuve de ce fait n'est pas très compliquée (on peut par exemple procéder par double inclusion juste en utilisant bien les propriété de l'adhérence de de l'intérieur d'une partie).

Par exemple :
$\mathring{\overline{A}} \subset \overline{\mathring{\overline{A}}}$ donc $\mathring{\overline{A}} \subset \mathring{\overline{\mathring{\overline{A}}}}$.

Dans l'argument ci dessus, le premier fait est vrai car $B\subset \overline{B}$, le deuxième car $C\subset D \implies \mathring{C}\subset \mathring{D}$ et en utilisant $\mathring{\mathring{B}}=\mathring{B}$.

Bonne journée

maths48

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Re : topologie, intérieur, adhérence

Merci de votre réponse ! 

(pourquoi est-ce que cela suffit ? )

Cela suffit parce qu'on retombe ensuite toujours sur des possibilités qu'on a déjà obtenu (j'ai regardé avec les résultats des fonctions que j'avais itéré et posté plus tôt).

Voici ce que j'ai fait : https://www.cjoint.com/c/LJjo2nXtmxF
J'ai juste un problème au niveau de mon "pourquoi"...

Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : topologie, intérieur, adhérence

La case en haut à droite, et en bas à droite m'ont l'air bien.
Pour la case en haut à gauche tu écris : "on a : $\overline{\mathring{A}}\subset A$". C'est faux, (A=]0,1[ pour un contre exemple).
Pour la case en bas à gauche tu conjectures que "$\mathring{\overline{A}}\subset A$". C'est également faux, (A=[0,1] pour un contre exemple).

Prends le réflexe de tester tes conjectures sur des exemples simples (ouverts / fermés/ semi ouvert semi fermé) pour voir s'il n'y a pas un problème.

Il va falloir être un peu plus rusé pour ces deux cases de gauche (ce n'est pas compliqué mais il faut trouver le bon point de départ).

Bonne journée.

maths48

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Re : topologie, intérieur, adhérence

Bonjour,

Je pense avoir trouvé, merci.

Prends le réflexe de tester tes conjectures sur des exemples simples (ouverts / fermés/ semi ouvert semi fermé) pour voir s'il n'y a pas un problème.

J'ai toujours un peu de mal à tester sur des semi-ouverts/semi-fermés.

Glozi

Invité

Re : topologie, intérieur, adhérence

Bravo ! Tester sur des exemples c'est un réflexe à prendre, il faut prendre des exemples simples mais $\textbf{divers}$.: $]0,1]$, $\mathbb{Q}$, $[0,1[\cup ]1,2]$ etc... En fait c'est terrible car si tu prends une partie de $\mathbb{R}$ "au hasard" alors ça sera certainement un truc infâme qui ne sera certainement pas un ouvert ou un fermé, mais c'est une autre histoire.

C'est un exo assez sympa si tu as quelques notions en cardinalité : décrire de manière simple tous les ouverts de $\mathbb{R}$ puis calculer le cardinal de l'ensemble des ouverts de $\mathbb{R}$ et le comparer avec le cardinal de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (parties de $\mathbb{R}$).

Bonne journée.