Forum de mathématiques - Bibm@th.net

maths48

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Composée idempotentes

Bonsoir,

J'ai une question :

Soient f, g deux applications idempotentes, avons-nous la composée f o g idempotente également ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Composée idempotentes

Bonjour,

Si $f$ et $g$ ne commutent pas ça peut ne pas pas marcher. Un exemple avec des fonctions applications de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$
Prendre $f(x,y)=(x,0)$ et $g(x,y)=((x+y)/2,(x+y)/2)$, $f$ et $g$ sont idempotents d'ordre $2$, mais $(f\circ g)(x,y)=((x+y)/2,0)$ n'est pas idempotent.

Bonne journée

maths48

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Re : Composée idempotentes

Ah oui je vois, merci.

Bonne journée

bridgslam

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Re : Composée idempotentes

Bonsoir,

Sinon , en terme de graphe à 4 sommets on a aussi cela
                                 f      g     f       g
                             a -> b -> c -> d -> a
                            (g)   (f)    (g)   (f)   (g)

Les applications entre parenthèses laissent invariants le sommet au-dessus (nécessité car point d'arrivée de cette fonction et on veut l'idempotence ).
On vérifie que f et g sont idempotentes, mais pas  g o f , ni g o f ( pb identique en décalant de 1 toutes les flèches) .

A.

Glozi

Invité

Re : Composée idempotentes

Bonjour,

Merci pour ton exemple sur un ensemble fini, c'est très joli.

J'ai remarqué que dans ton exemple, $(f\circ g)^{\circ 3}=f\circ g$, du coup je me suis posé la question de savoir si $f,g : E \to E$ son deux idempotents avec $E$ fini, alors existe-t-il un $n\geq 2$ tel que $(f\circ g)^{\circ n} = f\circ g$ ? Ça fait une variante de cet exo sympa. La réponse que j'ai obtenue est négative, on peut encore construire un contre exemple (sur un ensemble à 4 éléments pour ma part).

Bonne journée

bridgslam

Membre Expert

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Re : Composée idempotentes

Bonjour,

Une condition suffisante pour que (si f est idempotente, pas forcément g )  g o f le soit aussi est que la restriction de g à f(E) soit l'identité:

g o f o g o f (x) = g o f o f (x) = g o f (x).

Alors si f ET g sont idempotentes , que la restriction de g à f(E) est l'identité, que la restriction de f à g(E) est l'identité, gof et fog sont  idempotentes.

Une autre façon de voir (sans hypothèse d'idempotence sur f ni g) , en posant f * g = f o g o f, il suffit que g soit neutre pour f à droite (pour *)
pour que g o f soit idempotent, ou symétriquement que f soit neutre à droite pour g (pour *).

Ainsi, f*g = f ou g*f = g =>  g o f est idempotent. En permutant tout on a une condition pour l'idempotence de f o g ( nos amis anglais éviteront le brouillard ).

Mais bon, on s'éloigne un peu du post initial.
Il ne me semble pas possible d'énoncer des CNS sur le sujet par-contre, dans le cas général de fonctions quelconques.

A.