Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Abirmdr

Invité

Relations entre série entière et le fait qu'elle est bornée

Salut,
Quelle relation lit entre le fait qu'une série entière AnXn converge , et que fait que AnRn soit bornée ?
Merci beaucoup.

Glozi

Invité

Re : Relations entre série entière et le fait qu'elle est bornée

Dur de dire si j'ai réussi à déchiffrer correctement ton message.

Supposons $\sum_{n=1}^\infty |a_n| R^n <\infty$ pour un $R>0$ (le terme "borné" est mal choisi pour parler de la valeur d'un réel).  Alors pour tout $x$ vérifant $|x|\leq R$ on a : $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ converge (car converge absolument).

Bonne journée

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Relations entre série entière et le fait qu'elle est bornée

Bonjour,

On a en fait le résultat suivant dû à Abel :
Si pour un [tex]z_0 \in \mathbb{C}[/tex] la suite [tex]\left(a_n z_0^n\right)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] est bornée, alors [tex]\forall r \in \Big]0,|z_0|\Big[[/tex] la série [tex]\sum a_n z^n[/tex] converge normalement dans [tex]\bar{D}(0,r)[/tex]

Dernière modification par Gui82 (07-10-2022 20:45:32)