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maths48

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Points d'accumulation/points isolés

Bonjour,

Est-ce que les points d'accumulation d'un ensemble A = au complémentaire des points isolés de A ?
Je me situe dans R muni de la topologie usuelle.

Merci d'avance,
Bonne journée

Dernière modification par maths48 (01-10-2022 13:34:33)

Fred

Administrateur

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Re : Points d'accumulation/points isolés

Bonsoir,

  Si tu entends "points d'accumulation de A qui sont dans A" et "complémentaire dans A", alors oui.
Mais :
* un ensemble $A$ peut avoir des points d'accumulation qui ne sont pas dans $A$ : par exemple, $]0,1]$ a $0$ pour point d'accumulation.
* Si tu prends $A=]0,1]$ à nouveau, alors $2$ n'est ni un point isolé, ni un point d'accumulation de $A$.

F.

josée

Invité

Re : Points d'accumulation/points isolés

bonjour
s'il vous plait lorsqu'on a un ensemble A={ 1+1/n} . comment montrer que 1 est point d'accumulation de A.

bridgslam

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Re : Points d'accumulation/points isolés

Bonjour,

Je crois que Yoshi préfèrerait que vous ouvriez une nouvelle discussion, j'y répond cependant car il peut éclaircir le sujet abordé par maths48, comme application directe des définitions.

Vous pouvez ici montrer ( on se place dans l'espace $\mathbb{R}$ ou même dans $\mathbb{Q}$ d'ailleurs ) que:

- 1 est un point adhérent à cette partie
- 1 n'est pas dans cette partie.

1 est donc point limite de cette partie ( ou point d'accumulation, dans un espace séparé comme $\mathbb{R}$ ou  $\mathbb{Q}$ ça revient au même).

Noter que dans le cas général, un point limite peut aussi être dans la partie ( par exemple si vous rajouter {1} à votre partie, ça ne changera rien à l'affaire ).

A.

yoshi

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Re : Points d'accumulation/points isolés

Re,

Je crois que Yoshi préfèrerait que vous ouvriez une nouvelle discussion

Bin non...
Je ne suis pas si monolithique que ça : j'y ai réfléchi hier soir.
Et j'ai abouti à la conclusion que, quand bien même le post de josée ne constituait pas une réponse à maths48, il n'en était pas pour autant hors-sujet et qu'il y avait là peut-être matière à préciser la notion également au profit de maths48.

Donc, j'ai laissé passer... et tu me donnes raison, merci à toi !

@+

bridgslam

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Re : Points d'accumulation/points isolés

Bonsoir,

De rien Yoshi, en fait j'étais voisin des 50/50 mais un peu mitigé sur l' opportunité de son post  ( et de ma réponse) selon les règles en vigueur.
J'ai donc opté pour une réponse, et au pire , tu rectifiais le tir.

Merci
A.