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Karine

Invité

Montrer qu'une VA suit une loi binomiale

Bonjour à vous,
Je bloque dans un exercice où il est demandé de montrer qu'une certaine variable aléatoire suit une loi binomiale et de trouver une loi à l'aide de la formule des probabilités totales.
Voici l'énoncé :
Dans une famille donnée , le nombre total d', enfants est représenté par la variable aléatoire Z et le nombre de garçons est identifié à la variable aléatoire X. On suppose que Z(omega)= N, et que lorsqu'un enfant naît , il y'a équiprobabilité pour que ce soit fille ou garçon. Pour chaque n appartenant à N,on note Xn la variable aléatoire X sachant Z=n .
1) montrer que Xn suit la loi binomiale B(n,1/2) ?
2) en utilisant la formule des probabilités totales, donner la loi de X en fonction de celle de Z.
Il est clair que Xn suit une loi binomiale B(n,1/2) , mais je sais pas quoi écrire ?
Aussi je suis bloqué dans la deuxième question.

Merci d'avance de l'aide.

Fred

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Re : Montrer qu'une VA suit une loi binomiale

Bonjour,

  En général, pour démontrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale, on dit qu'elle compte le nombre de succès (ici, avoir un garçon....) dans une répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli ayant la même probabilité de succès. Ici, on repète $n$ fois l'épreuve 'avoir un enfant', et le succès 'avoir un garçon' est de probabilité 1/2 pour chaque épreuve.

Concernant ta deuxième question, tu peux partir de la formule des probabilités totales sous la forme suivante :

$$P(X=k)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=k|Z=n)P(Z=n).$$

F.

Karine

Invité

Re : Montrer qu'une VA suit une loi binomiale

Pour la deuxième question, après que je remplace P(X= k/Z= n) par P(Xn = k) ,est ce que je dois calculer finalement la valeur de la série ?
Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

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Re : Montrer qu'une VA suit une loi binomiale

Si tu n'as pas plus d'infos sur Z je ne vois pas comment faire....