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#1 10-09-2022 15:44:27
- Alaouiazybi
- Invité
Monotonie sur un intervalle ouvert
Salut à tous
Est-ce que si f est strictement croissante sur un intervalle ouvert]a,b[ , alors celà implique que f est strictement croissante sur [a,b] ?
#4 10-09-2022 17:12:07
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 913
Re : Monotonie sur un intervalle ouvert
Bonjour,
Si f admet notamment une limite à gauche en b et à droite en a , il faut et il suffit $ f(a) \le f(a+)$ et $f(b) \ge f(b-)$ pour que f soit en plus strictement croissant sur l'intervalle fermé.
La proposition de Roro en est un exemple suffisant plus particulier.
[ fonction "réglée" d'après la terminologie, sauf erreur dans mes souvenirs :-) ]
A.
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#5 10-09-2022 17:24:55
- Alaouiiza
- Invité
Re : Monotonie sur un intervalle ouvert
Donc celà reste vrai si seulement f. Est continue ?
Mais pour par exemple f(x) = x^3 , on a f'(x) = 3 x^2 , donc f' égale à 0 si x= 0 ,
Or f est strictement croissante sur ]0,1[ , puisque la dérivée est supérieure strictement à 0 sur cet intervalle ?
Mais , sur [ 0,1] , la fonction n'est pas strictement croissante puisque la dérivée s'annule en 0.
Et donc ?
#6 10-09-2022 17:49:19
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 913
Re : Monotonie sur un intervalle ouvert
Bonsoir,
là vous faîtes un détour par la dérivabilité, notion annexe, qui n'est pas toujours possible.
L' important est que si la dérivée est positive, rien ne l'empêche d'être nulle en des points isolés, elle sera alors str. croissante quand-même.
La condition ( dérivée str. positive ) est encore plus forte, c'est tout.
Je vous résume:
Soit f une fonction définie sur [a,b], str. croissante sur ]a,b[.
Elle admet alors sur ]a,b[ une limite à gauche et une limite à droite en tous points.
- si en a elle n'a pas de limite à droite, on ne peut rien dire sur f(a) pour quelle soit str croissante sur [a,b[.
- même principe en b.
- par-contre f(a) doit être au plus égal à la limite à droite (si elle existe) en a pour que f soit str croissante sur [a,b[
- idem: f(b) doit être au moins égal à la limite à gauche en b (si elle existe) pour que f soit str croissante sur ]a,b].
A contrario , par exemple si f tend vers -infini à droite de a, elle ne sera certainement jamais strict. croissante (penser à la fonction tangente qui enfonce donc le clou aussi de l'autre côté de l'intervalle $[ -\pi/2, \pi/2]$, on ne peut pas la compléter au bornes... pour obtenir cette propriété.
A.
Dernière modification par bridgslam (11-09-2022 07:27:03)
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#7 10-09-2022 17:55:57
- bridgslam
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Re : Monotonie sur un intervalle ouvert
Vous pouvez aussi utiliser par exemple une fonction affine par morceaux strict. croissante, , même discontinue, pour visualiser ce qui se passe.
La continuité n'est pas nécessaire.
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#8 10-09-2022 18:43:31
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Monotonie sur un intervalle ouvert
Re,
Mais pour par exemple f(x) = x^3 ...
Mais , sur [ 0,1] , la fonction n'est pas strictement croissante puisque la dérivée s'annule en 0.
Et donc ?
juste un petit intermède pour te répondre sur un point :
en utilisant la définition de la croissance stricte de $f$ sur $[0,1]$ tu peux vérifier que :
pour tout couple $(x;y)$ de $[0,1]$ tel que $0 \le x \lt y \le 1$, $f(x) \lt f(y)$ .. et plus particulièrement en considérant le cas $x=0$ dans cette définition.
Cette dernière est valide pour la fonction de bridgslam du post #4 en l'adaptant aux bornes de l'intervalle $[a,b]$ au lieu de $[0,1]$
L' important est que si la dérivée est positive, rien ne l'empêche d'être nulle en des points isolés, elle sera alors str. croissante quand-même.
La condition ( dérivée str. positive ) est encore plus forte, c'est tout.
Sur l'intervalle $[a,b]$ tu peux nommer ces points isolés et vérifier que la définition de la croissance stricte y est encore validée
Dernière modification par Zebulor (10-09-2022 19:38:56)
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#9 11-09-2022 07:37:46
- bridgslam
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- Messages : 1 913
Re : Monotonie sur un intervalle ouvert
Bonjour,
si lim inf f existe en a+ et lim suf f existe en b- ( plus général que des limites pures ), les conditions identiques sur f(a) et f(b) permettent de généraliser un peu plus.
A.
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