Distance minimal entre un point (A) et n-points

Ylan Hernandez · 14-08-2022 21:10:08

[tex][/tex]Bonjours tous le monde,
je souhaite étudier si en fixant n-points on peut à l'aide d'opérations géométriques trouver là où placer le point $A$ tel que
$\sum_k AB_k$ soit minimale avec $AB_k$ représentant la distance entre $A$ et le k-ieme point.
Pour $n=1,2$ cela est trivial mais je souhaite vous demander déjà si ma technique pour $n=4$ est correcte ?
Merci d'avance :)

Pour $n=4$

Une solution pour 4 points formant un quadrilatère $BCDE$ (pas un carré), on traces les 4 droites $BC, ED, BE, CD$ , comme ce n'est pas un carré il existe un point $\beta = BE\cap CD$ , on étudie alors le triangle $BC\beta$ et on trace les bissectrices de ses trois angles, l'intersection de ses trois droites est donc notre point $A$ qui minimise $\sum_kAB_k$. Je n'ai pas de démonstration formelle, mais lorsque j'essaye sur quelques exemples cela semble être correcte, merci de me guider :) Désolé si il n'y a pas de dessins je ne sais pas encore comment tout cela fonctionne, bonne soirée, ou journée ;)

Merci d'avance pour votre aide :)

Bernard-maths · 15-08-2022 07:09:32

Bonjour Ylan !

Voilà un problème qui a déjà fait couler beaucoup d'encre je pense ... mais je n'ai pas en tête de solution expresse !

Si pour n = 1, LA solution est triviale, comme on dit, pour n = 2, ça doit donner à réfléchir ?

Pourquoi sauter le cas n = 3 ?

Pour n = 4, si ABCD est un carré, qu'obtient-on ?

Sinon pour un quadrilatère, convexe ou non ? parallélogramme ou non ? trapèze ? Beaucoup de figures possibles donc ...

Quant à la solution proposée, je ne trouve pas du tout ça ... mais plutôt il semble que ce soit le point d'intersection des diagonales ...
Je n'ai pas de preuve encore ...

Je te joins un fichier GeoGebra (avec Cjoint), patienter un peu (30 secondes ?) lors du téléchargement ...

https://www.cjoint.com/doc/22_08/LHpgi6 … -08-15.ggb

Tu pourras bouger le point A, et regarder le nombre sA = AB+AC+AD+AE varier. Sur la figure je n'ai pas tracé les diagonales ...

@ +, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (15-08-2022 09:28:48)

Ylan Hernandez · 15-08-2022 09:20:26

Merci, beaucoup Bernard !
Effectivement le cas n=2 est déjà plus intéressant, j'aurai tendance à dire qu'il existe une infinité de points optimal qui se situent sur le segment $B_1B_2$ et pour le cas n=3 , j'aurai aussi tendance à dire qu'il suffit de tracer les trois bissectrices du triangle $B_1B_2B_3$ et leur point d'intersection et le point " optimal" Et effectivement le cas pour n=4 doit être bien plus difficile, je pense que la recherche de ce point doit peut être se faire non d'un point de vue Géométrique mais peut être algébrique ?

Merci d'avance

Bernard-maths · 15-08-2022 09:42:13

Re !

Je crains d'avoir fait une erreur et d'avoir rendu le fichier inaccessible ... à voir !

Pour 3 points, ce que j'obtiens ne donne pas l'intersection des bissectrices, alors ?

Passer à une résolution algébrique semble nécessaire, mais sera délicate à étudier ... ?

Bonnes recherches, je dois sortir.

B-m

Wan · 15-08-2022 14:45:45

Bonjour Ylan,

C'est une question fort intéressante. Il y a un article Wikipédia qui traite ce sujet: https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_median,
mais également un article académique (malheureusement payant) : https://link.springer.com/article/10.10 … 008-0352-z

Amicalement,
W.

Dernière modification par Wan (15-08-2022 14:46:17)

Bernard-maths · 15-08-2022 15:32:33

Bonjour à tous !

Merci Wan ! Je tournais un peu autour de ces explications ... mais rien prouvé ...

Le problème est assez complexe, donc ! Affaire à suivre doucement ...

B-m

Wiwaxia · 17-08-2022 12:57:03

Bonjour,

Il s'agit sans doute des points de Fermat. Voici des liens conduisant à des articles susceptibles de vous intéresser:

http://desaintar.free.fr/exposes/points_de_Fermat.pdf

https://fr.acervolima.com/somme-minimal … ts-donnes/

Les références abondent dans le cas du triangle:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_Fermat
https://www.imo.universite-paris-saclay … Fermat.pdf
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/dev … Fermat.pdf
https://publimath.univ-irem.fr/numerisa … I08018.pdf
http://serge.mehl.free.fr/anx/pt_fermat.html
et aussi, last but not least
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … celli.html

Je crois que le sujet avait été évoqué il y a quelques années.

Dernière modification par Wiwaxia (17-08-2022 13:08:23)

Wiwaxia · 17-08-2022 13:24:27

Je n'ai pas retrouvé la trace de la discussion. Il me semble pourtant qu'un groupe de matheux avait fourni, dans le cadre de la préparation au CAPES (?), un mémoire comportant des graphiques intéressants.

https://nanopdf.com/downloadFile/bo-som … ini-de.pdf

Ps: deux autres liens:
https://mgje.github.io/presentations/Bu … -Weber.pdf

https://www.semanticscholar.org/paper/G … 84fd3?p2df

Dernière modification par Wiwaxia (18-08-2022 07:41:30)

Ylan Hernandez · 15-09-2022 10:03:47

Bonjour à tous
Merci à tous pour vos messages, ils sont d'une grande aide.
Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt, la rentrée en prépa est assez exigeante ;)

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#1 14-08-2022 21:10:08

Distance minimal entre un point (A) et n-points

#2 15-08-2022 07:09:32

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#3 15-08-2022 09:20:26

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#4 15-08-2022 09:42:13

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#5 15-08-2022 14:45:45

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#6 15-08-2022 15:32:33

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#7 17-08-2022 12:57:03

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#8 17-08-2022 13:24:27

Re : Distance minimal entre un point (A) et n-points

#9 15-09-2022 10:03:47

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