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Vincent62

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Groupe des inversibles

Bonsoir,

Je m'intéresse à [tex]G=(Z\backslash 16Z)^{\times}[/tex].

On me demande de décrire explicitement [tex]G[/tex], puis de montrer que [tex]G_4=\{g\in G, g^4=\overline{1}\}=G[/tex], et enfin d'en déduire que [tex]G[/tex] n'est pas cyclique.

D'abord, l'ordre de [tex]G[/tex] est égal à [tex]\varphi(16)=8[/tex].
Puis, je parviens à démontrer que [tex]G=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{-7},\overline{-5},\overline{-3},\overline{-1}\}[/tex].

Ensuite, je m'intéresse à [tex]G_4=\{g\in G, g^4=\overline{1}\}[/tex].
On montre que tous les éléments de G vérifient [tex]g^4=\overline{1}[/tex]. Ainsi, [tex]G_4=G[/tex].

Ainsi, tous les éléments de [tex]G[/tex] sont d'ordre divisant [tex]4[/tex]. Il n'y a donc aucun élément d'ordre [tex]8[/tex].
Mais est-ce que cela permet d'en déduire que [tex]G[/tex] n'est pas cyclique ?
Je bloque.

J'essaye de comprendre...
Imaginons que j'ai un élément d'ordre [tex]8[/tex] parmi les [tex]8[/tex] éléments de [tex]G[/tex], autrement dit qu'il existe [tex]a\in G[/tex] tel que [tex]a^8=\overline{1}[/tex].
Je note [tex](a)[/tex] le sous-groupe engendré par [tex]a[/tex]. On a alors que [tex]|(a)|=8[/tex].
Bon, je n'arrive pas à avancer.

[tex]G[/tex] d'ordre [tex]8[/tex] est cyclique si et seulement si il existe un élément d'ordre [tex]8[/tex].
Comme il n'y a aucun élément d'ordre [tex]8[/tex], [tex]G[/tex] n'est pas cyclique.

Est-ce correct ?

Merci infiniment pour votre aide :)

Dernière modification par Vincent62 (09-08-2022 18:38:51)

Fred

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Re : Groupe des inversibles

Bonjour,

   Oui, c'est ça, comme il n'y a pas d'éléments d'ordre 8 et que le groupe compte 8 éléments, il n'est pas cyclique, chaque élément engendre un sous-groupe de $G$ comprenant au plus 4 éléments.

F.

Vincent62

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Re : Groupe des inversibles

Merci Fred ! C'est exactement la justification qui m'échappait !