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sigma23

Invité

exo fonction à plusieurs variables

Bonsoir ,
je suis bloqué dans un exercice de fonction à plusieurs variables https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo  .
C dans l'exercice 9 , pourquoi on a ajouté la condition du point (a,b) tel que a^2 + b^2 = 1 ?
Merci d'avance.

Fred

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Re : exo fonction à plusieurs variables

Bonjour,

  Je vais essayer de t'expliquer à partir d'un exemple en une variable. Imaginons que tu considères la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\sin(x)$ si $x<0$ et par $g(x)=\ln(1+x)$ si $x\geq 0$ et que tu veuilles démontrer que la fonction $g$ est continue sur $\mathbb R$. Alors le seul point qui pose problème est le point $0$. En effet, autour de $0$, aussi proche que l'on veut, il y a des points où la fonction $g$ est définie par $\sin(x)$ et d'autres par $\ln(1+x)$. Il y a donc deux expressions différentes pour $g$ au voisinage de $0$, et rien ne dit avant justification complémentaire que $g$ est continue en $0$. Dans les autres points de $\mathbb R$, on n'a pas ce problème car au voisinage de ces points, il y a une seule expression pour $g$.

  Ici, c'est pareil mais pour une fonction de deux variables : $f$ admet une certaine expression sur le disque unité fermé, et une autre sur le complémentaire de ce disque. Là où la continuité pose problème, et bien c'est sur la frontière du disque, c'est-à-dire le cercle unité. Au voisinage d'un point $(a,b)$ avec $a^2+b^2=1$, $f$ admet deux expressions possibles. Il faut donc travailler pour prouver la continuité.

F.

sigma23

Invité

Re : exo fonction à plusieurs variables

Salut Fred,
Dans l'exemple que vous avez donnez , le fait que g est à ln(1+x) quand x supérieur ou égale à 0, est-ce-qu'il n'implique pas que g est continue en 0? car on a le 0 est inclus ?

Bernard-maths

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Re : exo fonction à plusieurs variables

Bonsoir !

On peut envisager la continuité à droite de 0, et voir un prolongement par continuité à gauche de 0 ... et conclure à la continuité en 0.

B-m

Fred

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Re : exo fonction à plusieurs variables

Salut Fred,
Dans l'exemple que vous avez donnez , le fait que g est à ln(1+x) quand x supérieur ou égale à 0, est-ce-qu'il n'implique pas que g est continue en 0? car on a le 0 est inclus ?

Non, car si par exemple j'avais choisi $g(x)=\cos(x)$ si $x<0$, alors $g$ ne serait pas continue en $0$ (il suffit de tracer la courbe représentative de $g$ pour s'en rendre compte ou comme le dit Bernard, la limite à gauche ne serait pas égale à la valeur de la fonction en $0$).

F.

Bernard-maths

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Re : exo fonction à plusieurs variables

Bonjour Fred !

J'essaye un truc ! Je joins un fichier GeoGebra, consultable par clic dessus, suivi (il faut être patient) par une demande de chargement du fichier dans la fenêtre des téléchargements ! Est-ce clair ... ?

Graphiquement, j'essaye de mettre en évidence la continuité de la fonction f !?

https://www.cjoint.com/doc/22_08/LHjjae … -08-09.ggb

On peut faire tourner la figure avec la souris ...

Ce fichier présente 3 surfaces 3D, la bleue : z = x² ; la rouge : z = 2x² + y² - 1 ; et le cylindre vert : x² + y² = 1.

Si on déclic le cylindre vert, on voit alors les 2 surfaces qui se coupent selon "un cercle sinusoïdal", qui correspond à x² + y² = 1,en-dehors on prend donc la surface rouge, en-dedans la surface bleue.

On peut alors "voir" la continuité de la surface en 2 morceaux ... par leur raccord selon le "cercle sinusoïdal" ...

Fred, dis-moi ce que tu en penses, que faut-il améliorer ?

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-08-2022 10:19:36)

Fred

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Re : exo fonction à plusieurs variables

Bonjour Bernard-Maths,

  Ca me semble très clair. Une autre façon de visualiser la fonction (en faisant ou pas apparaître le cylindre) est disponible en
suivant ce lien. Avantage : inutile d'avoir Geogebra installé sur son ordi ou son smartphone!

A+
F.