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Vincent62

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implication boules ouvertes et normes

Bonjour,

[tex]E[/tex] désigne un espace vectoriel normé, [tex]N_1[/tex] et [tex]N_2[/tex] deux normes sur [tex]E[/tex], [tex]B_1(x,r)[/tex] la boule ouverte de centre [tex]x[/tex] et de rayon [tex]r[/tex], et [tex]k[/tex] un réel fixé.

Je cherche à démontrer que l'implication suivante :

[tex]B_1(0_E,1)\subset B_2(0_E,k)[/tex] implique [tex]\forall x\in E, N_2(x)\le kN_1(x)[/tex].

Voilà où j'en suis.
Par hypothèse, si [tex]\|y\|_1<1[/tex], alors [tex]\|y\|_2<k[/tex].

Soit [tex]x\in E[/tex]. Alors [tex]x=\frac{x}{2\|x\|_1}\|2x\|_1[/tex]. Posons [tex]z=\frac{x}{2\|x\|_1}[/tex]. Alors [tex]\|z\|_1<1[/tex] et donc [tex]\|z\|_2<1[/tex]. Ainsi, par homogénéité de la norme, on obtient que [tex]\|x\|_2<2k\|x\|_1[/tex].

Bon, ce n'est pas ce que l'on veut.
Mon idée est d'écrire un élément [tex]x[/tex] de [tex]E[/tex] comme produit d'une quantité strictement plus petite que [tex]1[/tex] (pour pouvoir utiliser l'hypothèse) et de [tex]\|x\|_1[/tex] (car avec l'homogénéité de la norme, on obtient ce que l'on veut).

Voilà, est-ce que mon idée est la bonne ou alors est-ce que ça ne peut pas aboutir au résultat demandé ?

Merci :)

Gui82

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Re : implication boules ouvertes et normes

Bonjour,

Pour [tex]x \neq 0[/tex], tu peux écrire [tex]\displaystyle x = N_{1}(x).\frac{x}{N_1(x)}[/tex] et voir si le vecteur [tex]\displaystyle \frac{x}{N_1(x)}[/tex] satisfait l'hypothèse d'inclusion sur les boules pour les normes [tex]N_1[/tex] et [tex]N_2[/tex].

(edit : essai code Latex pour plus de lisibilité).

Dernière modification par Gui82 (04-08-2022 21:29:58)