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Waad28

Invité

Polynômes orthogonaux

Bonjour,
J’aurais besoin d’aide concernant la résolution de l’exercice suivant :
On considère le produit scalaire
(P,Q) = integrale([0, 1] ; P(t)Q(t)dt)
Soit E_nl’orthogonal de R_n[X]
1. Montrer que :
R_n+1[X] = R_n[X] + (E_n n R_n+1[X])
Et que cette somme est directe.

2. Montrer que :
E_n n R_n+1[X] admet un unique polynôme unitaire P1 et déterminer son degré.

3. a. Montrer que P1 admet au moins une racine dans [0,1]
b. Montrer que P1 a toutes ses racines dans [0,1].

En particulier la question 3 me pose problème.

catherynolivo

Membre

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Re : Polynômes orthogonaux

personne pour me prêter assistance ?

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Polynômes orthogonaux

Bonjour,

  Pour la 3.a., si $P_1$ n'admet pas de racines dans $[0,1]$, alors $P_1$ garde un signe constant dans $[0,1]$, par exemple, il est strictement positif. Dans ce cas, $P_1$ a peu de chances d'être orthogonal à la fonction constante égale à $1$.....

Pour 3.b., si $P_1$ admet au moins une racine qui n'est pas dans $[0,1]$, et si $a_1,\dots,a_p$ sont ces racines dans $[0,1]$ de multiplicité impaire, que peux-tu dire du signe du polynôme $(X-a_1)\cdots (X-a_p)P(X)$????

F.