Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Benvolio

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Trouver le nombre le plus grand

Bonjour,

J'ai une énigme mathématique sympathique et très peu intuitive à vous présenter, j'espère qu'elle plaira, je ne l'ai pas vue sur le forum.

Un joueur choisit 2 nombres réels distincts n₁ et n₂ de manière secrète et arbitraire.
Ensuite, on lance une pièce équilibrée et si elle tombe sur pile, le joueur vous dit le nombre n₁ sinon il vous dit le nombre n₂.

Vous devez deviner si le nombre que le joueur vous à dit est le plus grand des deux nombres qu'il a choisit.

Trouvez une manière de jouer qui vous donne une probabilité de gagner strictement supérieure à 1/2.

A quoi ça sert?

J'ai entendu parler de ça lors d'un séminaire de théorie des jeux. En fait ça modélise une situation où vous voulez recruter quelqu'un. Vous allez recevoir des candidats, vous savez que vous allez en voir n successivement. A chaque candidat, vous devez décider tout de suite de manière définitive si vous l'acceptez où non (les nombres choisit dans l'énigme représentent en fait la qualité des candidats).
Ce petit exemple à deux nombres montre en fait qu'il n'y à pas d'équilibre au jeu où une première personne choisit deux candidats arbitraires qui vous sont envoyé de manière aléatoire et que vous devez recruter avec les règles données.

Comme j'ai découvert les balises de spoilers voici une indication au cas où j'oublie de me reconnecter:

▼Texte caché

On va s'aider d'une distribution de probabilité à support sur R pour notre stratégie.

Et la solution:

▼Texte caché

On tire un nombre réel avec notre distribution de probabilité à support sur R. Si ce nombre est plus petit que le nombre que l'autre joueur nous à dit, on dit que le nombre reçu est le plus grand des deux. Sinon on dit que c'est le plus petit.
On gagne si:

• Le nombre tiré est plus petit que n₁ et n₂ et le nombre qu'on a reçu est le plus grand des deux

• Le nombre tiré est plus grand que n₁ et n₂ et le nombre qu'on a reçu est le plus petit des deux

• On gagne toujours si le nombre tiré est entre n₁ et n₂ (le strictement supérieur à 1/2 vient de là)

Je vous laisse faire le calcul de probabilité qui se voit très bien avec un petit schéma. Le dernier point perturbant de cette énigme est que cela marche avec n'importe quelle distribution à support sur R.

Dernière modification par Benvolio (11-07-2022 22:32:25)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Trouver le nombre le plus grand

Bonjour,

Quelqu'un peut-il déplacer le sujet? Je ne crois pas pouvoir le supprimer.

Dernière modification par Benvolio (Aujourd'hui 12:03:20)

Ok, c'est fait ! Mais un membre peut tout à fait supprimer son post, pas un Invité...
Puisque tu es amateur de probas et autres calculs d'optimisation, je te suggère alors d'aller jeter un œil sur ce sujet de test d'embauche chez Microsoft qui figurent dans le sous-forum  Enigmes, casse-têtes et autres bizarreries :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1180
Variante  :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=8202

@+

Dernière modification par yoshi (11-07-2022 19:31:43)

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Fred

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Re : Trouver le nombre le plus grand

Salut,

  Très étonnant effectivement qu'il y ait une stratégie gagnante... Bien entendu, on n'a pas d'informations sur l'intervalle où vivent les deux nombres n1 et n2????

F.

Benvolio

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Re : Trouver le nombre le plus grand

Salut,

  Très étonnant effectivement qu'il y ait une stratégie gagnante... Bien entendu, on n'a pas d'informations sur l'intervalle où vivent les deux nombres n1 et n2????

F.

Non, ça peut être n'importe quels réels mais ils doivent bien être distincts.

Bernard-maths

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Re : Trouver le nombre le plus grand

Bonjour à tous !

Comme Benvolio a indiqué les "grandes lignes" d'une démonstration ... je me demande si une distribution sur IR, type Pile ou Face, ne ferait pas aussi l'affaire ? Je n'ai fait aucun calcul ... je vous laisse ce plaisir ! ( :-)

Quant au > 1/2, "mathématiquement" il n'y a pas de "grosse différence" avec > ou = 1/2 ... Donc cette théorie est-elle vraiment efficace ?

Mais ça fait partie de la Théorie des Jeux !

Bonne journée,

Bernard-maths

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Benvolio

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Re : Trouver le nombre le plus grand

Bonjour à tous !

Quant au > 1/2, "mathématiquement" il n'y a pas de "grosse différence" avec > ou = 1/2 ... Donc cette théorie est-elle vraiment efficace ?

Mais ça fait partie de la Théorie des Jeux !

Bonne journée,

Bernard-maths

En effet, je pense qu'il existe un epsilon-equilibre pour tout epsilon strictement positif (où chacun des joueurs ne peut pas augmenter son gain de plus de epsilon en changeant sa stratégie), donc dans ce cas là l'absence d'équilibre est plus théorique qu'autre chose.
Après je ne sais pas si ça complique quelque chose au niveau des algorithmes qui peuvent être employés classiquement pour trouver des équilibres approximés, je n'ai jamais trop touché aux algorithmes classiques.

Bernard-maths

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Re : Trouver le nombre le plus grand

Bonsoir à tous !

Hum ! J'attends une réponse "experte" de Fred, Roro, Yoshi, Wiwaxia ... ou quelqu'un d'autre ?

Bernard-maths

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Boody

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Re : Trouver le nombre le plus grand

...
Vous devez deviner si le nombre que le joueur vous à dit est le plus grand des deux nombres qu'il a choisit.
Trouvez une manière de jouer qui vous donne une probabilité de gagner strictement supérieure à 1/2.

Bonjour Forum,

Je pense qu'il faut ...

▼...

également se choisir un nombre réel arbitraire (aléatoire) et si le nombre dévoilé est plus grand que notre nombre on prétend que le nombre dévoilé est le plus grand des 2 nombres et sinon on prétend que c'est l'autre nombre le plus grand.

Car notre nombre est dans l'intervalle n1 et n2 ou il n'y est pas.
Quand il n'y est pas on a exactement 1/2 chance de gagner mais quand il est dans l'intervalle (probabilité faible mais non nulle) on gagne. On a donc globalement une probabilité de gagner strictement supérieure à 1/2.

Cdt.

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“il n’existe que 10 sortes de personnes, celles qui comprennent le binaire et les autres.”
Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît... (just in case : ) )