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Eyer

Invité

Espace vectoriel sur N

Bonjour, s'il vous plaît, pourquoi on ne peut pas avoir un espace vectoriel sur N ?(un N espace vectoriel)
Merci.

Fred

Administrateur

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Re : Espace vectoriel sur N

Bonjour

  Parce que N n'est pas un corps.... Plein de choses de la théorie ne fonctionnerait pas. Par exemple pour tout x de E non nul (2x,3x) serait une famille libre.

F.

Eust_4che

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Re : Espace vectoriel sur N

Bonjour,
Reprend la définition d'un espace vectoriel : l'ensemble d'où l'on tire les scalaires doit être un corps. En toute généralité, il est possible de définir une loi externe $Y \times X \longrightarrow X$ sur tout ensemble $X$ à partir de n'importe quel ensemble $Y$. Par exemple, $(n, x) \mapsto x^n$ de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$.

L'abondance des situations impliquant des relations linéaires en analyse et le trés grand nombre de propriétés que possèdent les espaces vectoriels justifient qu'on se concentre sur cette structure plutot que sur les autres, au moins les premieres années.

E.

PlumeF

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Re : Espace vectoriel sur N

Bonjour, je réveille un vieux sujet, mais je pense qu'une façon simple de l'expliquer consiste à dire que l'ensemble des entiers naturels ne respecte pas la règle de la symétrie.

Une des nombreuses propriétés des espaces vectoriels est qu'il existe une loi de composition interne additive respectant la symétrie, donc dans N il faudrait trouver deux éléments u et v distincts tels que u + v = élément neutre.

L'élément neutre de l'addition étant 0, il faudrait trouver u + v = 0. Et c'est impossible dans N, les nombres étant tous positifs. Pas de certitude absolue concernant mon raisonnement mais il me paraît logique.

Bon courage !

Eust_4che

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Re : Espace vectoriel sur N

Bonjour PlumeF,

Ton raisonnement n'est pas correct. Lorsqu'on parle (de façon abusive) d'espaces vectoriels sur $\mathbb{N}$, on se réfère à l'ensemble des scalaires. Je pense que tu confond avec l'ensemble $E$ sur lequel agissent les scalaires, qui effectivement doit être un groupe (commutatif). Par définition, il faut que les scalaires appartiennent à un corps (donc à un groupe, une structure dans laquelle chaque élément à bien un symétrique pour l'addition). On peut toujours définir une loi de $\mathbb{N} \times E$ dans $E$, mais cela ne servirait pas à grand'choses...

Par ailleurs, l'équation $u + v = 0$ à bien une solution dans $\mathbb{N}^2$ : il suffit de prendre $u = v = 0$.

Eustache

PlumeF

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Re : Espace vectoriel sur N

Bonjour Eustache, merci pour les précisions ! Je vais étudier ton message parce que ça m'indique qu'il me faut combler quelques lacunes, c'est bon à prendre.

stfj

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Re : Espace vectoriel sur N

Bonjour,
Existe bien la notion de Z-module ou plus généralement de module sur un anneau (structure qu'on rencontre naturellement par exemple en géométrie différentielle). L'exemple archétype est le Z-module (Z/6,+,.). Par exemple 2.Cl(4):=Cl(4)+Cl(4)=Cl(2). De même, -1.Cl(4):=-Cl(4)=Cl(2). On a bien une ADDITION et une MULTIPLICATION EXTERNE. En fait, nulle différence ici avec le groupe (Z/6,+). Juste l'adoption d'un point de vue géométrique. En tout cas, la notion en remplaçant Z par N n'a pas d'intérêt à ma connaissance. Roger Godement, dans son célèbre Cours d'Algèbre destiné aux premières années universitaires(1966, n'a pas beaucoup vieilli d'un certain point de vue) introduit les espaces vectoriels comme des cas particuliers de modules sur un anneau( cas où l'anneau est un corps). Mais le conseil d'@Eust_4che me paraît néanmoins raisonnable. Beaucoup de choses ont changé depuis 1966...