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Bambs

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Comparaison de 2 suites de nombres énormes

Bonjour,

J'ai besoin de comparer deux suites $u$ et $v$ avec $u_0=v_0=9$, et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=9^{u_n}$ et $v_{n+1}=v_n!$.
Le souci c'est que à partir de $u_2$ et $v_2$, n'importe quelle calculatrice à ma portée n'arrive plus à calculer tellement les nombres manipulés sont énormes
La seule info qu'on a c'est $v_1=362\;880<u_1=387\;420\;489$
Le seul truc qui me vient à l'idée c'est ça : $v_{n+1}<v_n^{v_n}<truc<u_{n+1}$
Par contre aucune idée de ce que je pourrai mettre dans le troisième membre... Si qqn a un truc qui fonctionne je prends !

Merci d'avance

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Comparaison de 2 suites de nombres énormes

Bonjour,

  Je pense que $v_n$ va vite devenir supérieur à $u_n$. En effet, par la formule de Stirling, on sait que
$$v_{n+1}\geq e^{-v_n}v_n^{v_n}=\left(\frac{v_n}e\right)^{v_n}.$$
Dès que $n$ est assez grand, $\frac{v_n}e\geq 10$ et donc
$$v_{n+1}\geq 10^{v_n}.$$
Il faut encore un peu travailler pour finir la comparaison....

F.