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Vincent62

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Fonctions nulles part dérivables

Bonjour,

Je considère l'ensemble [tex]U_a=\{f\in E,\forall x\in [0,1], \exists y\in [0,1], |f(y)-f(x)|>a|x-y|\}[/tex], avec [tex]E[/tex] l'ensemble des fonctions continues de [tex][0,1][/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], muni de la norme du sup.

J'ai démontré que [tex]U_a[/tex] est un ouvert de [tex]E[/tex].

On demande maintenant de montrer que si [tex]f : [0,1]\to \mathbb{R}[/tex] est lipschitzienne de rapport [tex]K[/tex], alors pour toute fonction [tex]\phi\in U_a[/tex] avec [tex]a>K[/tex], on a [tex]f+\phi\in U_{a-K}[/tex].

Le but est donc de montrer que [tex]\forall x\in [0,1], \exists y\in [0,1], |f(y)+\phi(y)-f(x)-\phi(x)| >(a-K)|x-y|[/tex].

On sait que [tex]f[/tex] est lipschitzienne de rapport [tex]K[/tex], donc [tex]\forall x,y\in [0,1], |f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex].
De plus, [tex]\phi\in U_a[/tex] avec [tex]a>K[/tex], donc [tex]\forall x\in [0,1], \exists y\in [0,1], |\phi(y)-\phi(x)|> a|x-y|[/tex].

J'ai tenté de partir de [tex]|f(y)+\phi(y)-f(x)-\phi(x)|[/tex], mais minorer cette quantité n'est pas évident (avec l'inégalité triangulaire "inverse"). J'ai essayé plein d'autres trucs, rien n'aboutit.

Pouvez-vous me donner un coup de pouce ?

Dernière modification par Vincent62 (25-06-2022 16:54:27)

Fred

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Re : Fonctions nulles part dérivables

Bonjour,

  Pourtant, c'est bien l'inégalité triangulaire $|u-v|\geq u-v$ avec $u=f(y)-f(x)$ et $v=\phi(x)-\phi(y)$.

F.

Vincent62

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Re : Fonctions nulles part dérivables

Merci Fred !