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Roro1

Invité

Continuité d'une fonction

Bonjour.

Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction, $y \geq 1.$ Pout tout $k \in \mathbb{N},$ soit $\epsilon_k:=2^{-k}$ et $\delta_k:=3 \times 2^{-k}.$ On suppose que $$\forall k \in \mathbb{N},\forall q \in \{0,...,3 \times 2^ky-1\},\forall x \in [0,\delta_k],|f(x+q\delta_k)-f(q\delta_k)| \leq  \epsilon_k.$$
Prouver que $f$ est continue sur $[0,y].$

Fixons $\epsilon>0$ et $x \in [0,y].$ On déduit qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ telle que $\epsilon_k \leq \epsilon.$ Alors comment vérifier la continuité de $f$ en $x$?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Continuité d'une fonction

Bonjour,

  Par l'inégalité triangulaire. Je te conseille de démontrer d'abord que si $x_1,x_2\in [(q-1)\delta_k,(q+1)\delta_k]$,
alors $|f(x)-f(y)|\leq 3\epsilon_k$. Il faudra peut-être distinguer des cas, suivant la position de $x_1$ et $x_2$ par rapport à $q\delta_k$.

F.