Vieux problème d'il y a 2 ans : équation d'un triangle !

Bernard-maths · 21-06-2022 15:52:23

Bonjour à tous !

Vieux problème d'avant mon inscription, il y a 2 ans environ : équation d'un triangle !
Wiwaxia reconnaitra ses jolis dessins de l'époque ... https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=11412

Je viens de perdre mon fichier, ça arrive ? Donc on y va doucement, je reconstruis la figure !

Je travaille avec GeoGabra 5 : Placer dans le plan un point O, définir la variable rayon r, puis tracer le cercle (O,r). Placer 3 points A, B et C sur ce cercle. Définir les variables : x0=x(O), y0=y(O), x1=x(A), y1=y(A), x2=x(B), etc... y2, x3 et y3.

Les 3 droites (AB), (BC) et (CA) ont pour équations : (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0 ; (x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2)=0 ; (x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3)=0 ; et le cercle : (x-x0)²+(y-y0)² - r²=0.

Si l'on définit l'équation produit des 3 droites :

((x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1))((x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2))((x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3))=0,

son tracé donne les 3 droites en entier ! Les 3 vertes, avec les segments rouges, eq4

MAIS on voudrait bien n'avoir QUE le triangle ! Donc raser les moustaches vertes hors du cercle, vu ?

Donc ne garder que ce qui est dans le cercle (strictement ?), donc avoir : (x-x0)²+(y-y0)² - r²<0.

Ce qui mène à une équation conditionnelle :

Si((x-x0)²+(y-y0)² - r²<0, ((x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1))((x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2))((x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3)))=0 !

Sur le modèle de : Si(condition vraie, on veut ça) = résultat ...

D'où le triangle rouge ! Ce Qu'on Voulait Obtenir (CQVO) ...

Je vous laisse le plaisir d'imaginer ce que ça donne avec un quadrilatère inscriptible dans un cercle ... convexe ou croisé !

Et en général pour un polygone inscriptible dans un cercle.

Cette présentation est un amuse-gueule pour ce que je cherche à terminer sur les équations de polyèdres en 3D, et polygones en 2D !
Il y a d'autres manières d'aborder le problème ... pour une solution.

A bientôt, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-06-2022 20:54:42)

Wiwaxia · 21-06-2022 19:43:42

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

... Vieux problème d'avant mon inscription, il y a 2 ans environ : équation d'un triangle !
Wiwaxia reconnaitra ses jolis dessins de l'époque ... https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=11412
Je viens de perdre mon fichier, ça arrive ? Donc on y va doucement, je reconstruis la figure !
... / ...
Les 3 droites (AB), (BC) et (CA) ont pour équations : (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0 ; (x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2)=0 ; (x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3)=0 ; et le cercle : (x-x0)²+(y-y0)² - r²=0.
Si l'on définit l'équation produit des 3 droites :
((x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1))((x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2))((x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3))=0,
son tracé donne les 3 droites en entier ! Les 3 vertes, avec les segments rouges, eq4
https://zupimages.net/up/22/25/3ejk.jpg
MAIS on voudrait bien n'avoir QUE le triangle ! Donc raser les moustaches vertes hors du cercle, vu ?
Donc ne garder que ce qui est dans le cercle (strictement ?), donc avoir : (x-x0²+(y-y0)² - r²<0.
Ce qui mène à une équation conditionnelle :
Si((x-x0)²+(y-y0)² - r²<0, ((x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1))((x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2))((x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3)))=0 !
...

Que les images de cette discussion ancienne soient encore accessibles sur la Toile, c'est une surprise agréable ... Il m'avait semblé qu'un certain nombre d'échanges documentés étaient passés à la trappe, et je m'étais interrogé sur la fiabilité de l'hébergeur.

Pour en revenir au sujet, le dernier cas envisagé part du fait que l'égalité des distances: MA + MB = AB
n'est vérifiée que sur le segment [AB]; la généralisation à une ligne brisée quelconque ne pose pas de difficulté - quoique la visibilité du graphe obtenu puisse réserver quelques surprises ...
Tu auras probablement du mal à appliquer ta méthode à un polygone non inscriptible dans un cercle ... mais il y a sans doute des solutions astucieuses.

Bonne soirée.

Dernière modification par Wiwaxia (22-06-2022 09:09:50)

Bernard-maths · 21-06-2022 21:42:48

Bonsoir Wiwaxia, et les autres !

Oui, j'ai déjà vu ce sujet paraître plusieurs fois, avec des réponses plus ou moins satisfaisantes ...

Et comme je galère dessus depuis plusieurs semaines, à chercher des équations cartésiennes, les contraintes de non tracés entrainent un non tracé de l'équation produit !

Ce cas simple m'est apparu finalement !

Mais je me laisse maintenant tenter par des équations paramétriques, qui ouvrent un grand nombre de possibilités !!!

Ce genre de formule ressemble à la programmation ... des conditions et des bifurcations, multiples.

Je suis surbooké cette fin de semaine, comme la petite chèvre très coutisée par les jeunes boucs ; qui lui demandaient "un rendez-vous, s'il te plait", alors elle consultait son carnet de rendez-vous, et répondait "désolée, je suis surbookée"...

Donc à la semaine prochaine !

Bernard-maths

Wiwaxia · 22-06-2022 00:21:11

Bernard-maths a écrit :

... Mais je me laisse maintenant tenter par des équations paramétriques, qui ouvrent un grand nombre de possibilités ...

Il suffit probablement de recourir à une combinaison linéaire de la forme: OM = Σ_j=0^N-1F(t - j).OM_j ,
F(u) désignant une fonction périodique de période égale au nombre (N) de sommets, continue et linéaire par morceaux, définie sur [0 ; N] par les relations:

F(u) = 1 - u pour (0 ≤ u ≤ 1) ;
F(u) = u + 1 - N pour (N - 1 ≤ u <N) ;
F(u) = 0 pour (1 < u < N - 1) .

Relations à vérifier, car il se fait tard.

Dernière modification par Wiwaxia (22-06-2022 19:36:25)

Bernard-maths · 22-06-2022 14:04:57

Bonjour à tous !

Celui qui avait lancé le problème est algèbre 2001, puis en réponse Wiwaxia, Roro et Deugard !

Alors qu'en pensent-ils ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (22-06-2022 14:05:44)

Roro · 22-06-2022 20:58:36

Bonsoir,

Bernard-maths m'a obligé à regarder mes anciens messages... je ne comprend pas trop la question qui est posée mais en tout cas, j'avais dit à l'époque qu'une façon (parmi d'autres) d'obtenir l'équation cartésienne d'un triangle était de prendre l'exemple de l'équation
$$\min(x,y,1-x-y)=0$$
dont le graphe est exactement le triangle OAB avec A(1,0) et B(0,1).

Vous pouvez trouver d'autres équations et ajouter des centaines de messages mais je ne sais pas vraiment ce que vous cherchez de plus !

Roro.

P.S. Si vous n'aimez pas la fonction "$\min$", vous remarquerez que $\displaystyle \min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$.

Dernière modification par Roro (22-06-2022 21:03:08)

Bernard-maths · 22-06-2022 21:20:26

Bonsoir Roro !

Je n'avais pas fait attention au petit renvoi "ici" ! Dommage ...

Je vais étudier cette approche ... min de rien :-)) : c'est fait en-dessous !

Pour moi la question posée était : un triangle (quelconque) doit avoir une équation !

Et c'était parti un peu dans tous les sens. Comme je cherche pour les polygones, j'ai construit cette formule un peu par hasard, alors je la propose !

Equation par le min ou le max :

Si je prends les 3 équations des côtés f1(x,y) : (AB), f2(x,y) : (BC) et f3(x,y) : (CD), en arrangeant les signes des fi(x,y) pour qu'ils soient tous les 3 < 0 vers l'intérieur du triangle, alors une équation sera max(f1, f2, f3) = 0. Comme ce que j'ai fait pour les polyèdres en 3D !

Si au contraire tous les fi(x,y) sont > 0 vers l'intérieur du triangle, alors une équation sera min(f1, f2, f3) = 0.

Mais si on veut étendre cette équation, il faut que le polygone reste convexe.

Donc je planche pour étendre et je vais plutôt utiliser du paramétrique, à voir bientôt !

Bonne soirée Roro, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-06-2022 06:48:20)

Bernard-maths · 23-06-2022 09:09:48

Bonjour à tous !

Voilà sur Maple ce que ça donne :

Mais ça ne marche pas avec GeoGebra !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (23-06-2022 19:01:13)

Wiwaxia · 23-06-2022 20:13:56

Bonjour,

J'ai repris le problème dans le cas d'un hexagone à deux arêtes croisées.

On calcule en chaque pixel de l'image le produit p = Π_i=0^(N-1)(M_iM + M_jM - M_iM_j)
et la fonction du point (M): F(x, y) = p^1/N/(Largeur*Hauteur)^1/2
(afin d'éliminer l'influence des dimensions de l'image).
On peut cerner plus ou moins étroitement le contour du polygone par le choix d'un coefficient (C) qui intervient dans la fonction de couleur:

Fpixel = G(u) = G(C*F(x, y))

le noir correspondant à 0 ≤ u < 1 , le bleu à 1 ≤ u < 2 , etc ...
Les valeurs C = (5, 10, 15, 20) conduisent aux images ci-dessous:

LFxrpteQagX_C=05-10-15-20.png

Le défaut du procédé, c'est la difficulté d'obtenir un tracé de largeur fixe pour le contour, qui vérifie l'égalité limite F(x, y) = 0;
son avantage est qu'il reste efficace dans le cas d'un polygone quelconque, non convexe ou présentant des croisements.

Dernière modification par Wiwaxia (23-06-2022 21:04:59)

Bernard-maths · 23-06-2022 20:52:58

Bonsoir à tous !

Wiwaxia et ses jolis dessins sont toujours là ! Quand j'utilise une équation, celle-ci est "mathématique", et juste ...

Si je veux l'utiliser pour tracer la figure, tout dépend du procédé utilisé par le logiciel, et de l'existence de fonctions appropriées.

Donc tous les logiciels ont des limites ... mais par programmation, on peut faire "comme on veut" !

Ainsi le balayage de l'écran (pour chaque pixel, dixit Wiwaxia) permet de tester une propriété caractéristique de l'image, et donc de savoir si on trace le pixel, ou non. Donc la programmation (bien pensée) est un bon logiciel de tracé de figures !

Evidement, en 3D, c'est plus long ... et on peut ajouter la rotation de l'image selon des axes ...

Bravo pour ces dessins !

bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-06-2022 20:57:08)

Wiwaxia · 25-06-2022 16:56:11

Idée soudaine: la fonction F(x, y) s'annulant sur chaque arête du polygone et augmentant rapidement dès qu'on s'en éloigne, son laplacien doit y présenter un maximum étroit et prononcé.

On peut donc envisager de calculer en chacun des pixels de l'image une valeur approchée de ∆F(x, y) par le procédé des différences finies, en exprimant les sommes:

S_a = F(x + h, y) + F(x - h, y) + F(x, y + h) + F(x, y - h) ,
S_b = F(x + h, y + h) + F(x - h, y + h) + F(x + h, y - h) + F(x - h, y - h) ;

il vient en effet, en limitant le développement au second ordre:

S_a - 4F(x, y) ~ h²∆F; S_b - 4F(x, y) ~ 2h²∆F ,

d'où, si l'on convient d'attribuer une égale contribution aux deux expressions du laplacien:

4h²∆F ~ 2.S_a + S_b - 12.F(x, y) .

On minimise le nombre d'étapes en consignant les valeurs de la fonction F(x, y) dans une matrice à éléments réels, de dimensions (Largeur*Hauteur), puis en passant à la combinaison linéaire envisagée - en délaissant les lignes et colonnes extrêmes (x = 0 ou (La - 1), y = 0 ou (Ha - 1)), pour lesquelles le calcul s'avère à la fois problématique et dépourvu d'intérêt.

Voici ce que l'on obtient pour le même hexagone, la couleur noire correspondant à la vérification de la condition:

∆F > Limite ,

les seuils retenus valant successivement: 1E^-6 , 10E^-6 , 20E^-6 , 30E^-6:

LFznR5v4YKX_Lim=01-10-20-30E-6.png

L'aspect du tracé n'est pas affecté par la valeur de la limite choisie. Sa densité n'est cependant pas contrôlable, et il ne s'agit pas de segments de droites mais d'un ensemble de zones très étroites à bords quasi-rectilignes, à l'intérieur desquelles le laplacien de la fonction dépasse un certain seuil.

Dernière modification par Wiwaxia (27-06-2022 07:39:56)

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#1 21-06-2022 15:52:23

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